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nombre pts dans un disque
Bonjour,
Montrer que pour tout entier n ∈ N∗, il existe un réel (Rn) tel que le disque ouvert
de centre le point (√2, 1/3) et de rayon (Rn) contienne exactement n points à coordonnées entières.
Prolongements :
Peut-on remplacer le point (√2, 13) par un point à coordonnées rationnelles ?
Donner un équivalent du rayon Rn.
Étendre la question à la dimension 3
indication svp???????
salut
dans quel cadre t'est posée cette question ?
donc on cherche où r est un réel tels qu'on ait exactement n solutions ...
la fonction est croissante
si r < t alors S(r) 
S(t) donc f(r) 
f(t)
de plus f(0) = 0 et f(+oo) = +oo
f est continue et à cause des coordonnées du centre et des axes de symétrie d'un cercle ... (considérer les axes de symétries parallèles aux axes du repère)
maintenant pour revenir à une démonstration plus constructive :
pour tout r x varie dans et y varie alors dans
Bonjour,
il me semble assez évident que le nombre de points entiers dans le disque est à peu près proportionnel à son rayon.
Plus précisément on peut voir ce nombre comme une approximation de l'aire du disque, d'autant meilleure que n est grand.
Même chose pour la boule en dimension 3.
Bonjour,
Avec r réel positif,
Si j'ai bien compris, f(r) est le cardinal de Sr
Pourrait être faux avec les coordonnées du centre rationnelles.
Avec (0,0) par exemple, il y a des points à coordonnées entières sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 5.
Soit n = f(5).
f(r)
n+4 pour r > 5.et attention l'énoncé parle de disque ouvert ...
les symétries du disque (en particulier par rapport à des droites parallèles aux axes ou même par rapport au centre) montre que si les coordonnées I(a, b) du centre sont rationnelles alors si un point M(x, y) convient son symétrique par rapport à I aussi on aura donc un nombre pair de solutions plus le centre (si ses coordonnées sont entières)
le nombre de solutions sera même de la forme 4n ou 4n + 1 (coordonnées de I rationnelles ou entières
par contre si les coordonnées de I sont irrationnelles les droites d'équations x =k ou y = k (k entier)... ouais bof ce que je veut dire c'est que les intervalles
pour tout r x varie dans
Sauf erreur de ma part, pour qu'un centre convienne il faut et il suffit que ses coordonnées soient linéairement indépendantes dans R vu comme espace vectoriel sur Q.
Dans le plan : (a;b) convient comme centre ssi a/b est irrationnel.
C'est une méthode que je n'avais jamais vu pour établir une bijection entre Zn et N.
Bonjour a tous
Noter que la fonction f donnée par @Carpediem est une fonction en escalier augmentant seulement de 1 a chaque marche, a cause des coordonnées du centre.
Considérons g l'équivalent de f en choisissant le centre (0,0) et pour des cercles de rayon R'n et contenant exactement 22 * n points à coordonnées entières. g est aussi une fonction en escalier mais qui augment de 22 a chaque marche. Noter que la marche d'un nombre n démarre pour R'n=n+ɛ.
Soit d = |√2, 13) |,
R'n-d<R4n<R4n+1<R4n+2<R4n+3< R'n+d
n-d < R4n<R4n+1<R4n+2<R4n+3 < n+d
Nous en déduisons que Rn est equivalent a n/4
Et dans un espace de dimension 3 Rn est equivalent a n/23
le disque de centre n'importe quel point et de "rayon infini" est le plan ... il me semble ...
de f.
f est une application de
+ vers 
.
J'ai interprété la première question posée ainsi : "L'application f est-elle surjective ?"
Pour vérifier que j'ai bien compris la définition de ta fonction f :
Autres valeurs : f(0,3) = 1, f(0,5) =2 et f(0,7) = 3.
Bonjour à verdurin et kongzi 
la fonction f donnée par @Carpediem est une fonction en escalier augmentant seulement de 1 a chaque marche, a cause des coordonnées du centre.
Et si le centre est (0,0), il y a des marches de 4 ou multiples de 4.
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n-1<r<n contiennent 4(n-1) elements a coordonnées entieres.
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n<r<n+1 contiennent 4n elements a coordonnées entieres.
Les marches de l'escalier augmentent de 4.
Il y avait neanmoins petite erreur dans mon message precedent. Voici sa correction :
R'n-d<R4n-3<R4n-2<R4n-1<R4n< R'n+d
n-d < R4n-3<R4n-2<R4n-1<R4n < n+d
Finalement, c'est un peu plus compliqué avec (0,0) :
Le cercle de centre (0,0) et de rayon 5 contient 12 points à coordonnées entières 
@kongzi,
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n-1 < r < n contiennent 4(n-1) elements a coordonnées entieres.
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n < r < n+1 contiennent 4n elements a coordonnées entieres.
Tu parles de cercles ou de disques ?
Mea culpa.
Mais ca ne change rien. que ca passe de 12 a 13, ca passe directement a 16, ainsi que sur le fait que R4n est equivalent a R'n
On ramene le probleme au nombre de points de valeurs entieres dans un cercle de centre (0,0) et de rayon R'.
@kongzi,
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n-1 < r < n contiennent 4(n-1) elements a coordonnées entieres.
Les cercles de centre (0,0) et de rayon n < r < n+1 contiennent 4n elements a coordonnées entieres.
Tu parles de cercles ou de disques ?
On ramene le probleme au nombre de points de valeurs entieres dans un disque de centre (0,0) et de rayon R'.
tiens c'est bizarre durant l'enregistrement de l'image ça enregistre la verticale passant par I mais pas l'horizontale ...
les mystères de l'informatique sont définitivement impénétrables ... 
Bonjour,
On ramene le probleme au nombre de points de valeurs entieres dans un disque de centre (0,0) et de rayon R'.
Après y avoir réfléchi (seulement 1h), je n'ai pas trouvé de solution.
J'ai exploré une autre piste : on peut simplifier le problème sans le changer en plaçant le point
On cherche les points à coordonnées entières les plus proches de
si
si
si
etc...
Le tout est de classer ces distances pour les points
Oui bon, c'est un peu compliqué pour un oral. Ce ne doit pas être la solution attendue, surtout que cela ne donne pas de manière évidente un encadrement de
Je viens de voir le problème du cercle de Gauss, je laisse (histoire de ne pas avoir réfléchi pour rien).
Bonjour,
il me semble assez évident que le nombre de points entiers dans le disque est à peu près proportionnel à son rayon.
Non.
Je refais ma demo et prions que cette fois elle est cette fois ci elle est correcte.
Rn est equivalent a sqrt (n/ π)
Demo :
n < π Rn2
En effet le disque de rayon R contient des points de coordonnées entières que π Rn2
Or ce disque englobe le disque de rayon (R-√2) ainsi que tous les points de coordonnees entieres qui l'entourent.
Le nombre de points à coordonnées entières - 1 contenu dans un disque de rayon est environ
. Quand on fait tendre
vers l'infini, on peut découper la surface du disque en petits carrés de côté 1, et l'aire du disque sera environ égale au nombre de points à coordonnées entières (1 est négligeable).
Donc je dirais : , soit en inversant la fonction :
.
En effet le disque de rayon Rn contient moins de points de coordonnées entières que π Rn2
En effet le disque de rayon Rn contient moins de points de coordonnées entières que π Rn2
En effet,
En effet le disque de rayon Rn contient moins de points de coordonnées entières que π Rn2
En effet,
Je ne suis pas sur que :
Noter que dans le cas ou le centre du cercle est (0,0), le nombre des points a coordonnees entieres peut augmenter de 8 d'un coup (lorsqu'un nouveau point ajoute est de forme (x,y) tous les points (+-x, +-y) et (+-y, +-x) s ajoutent par symetrie).
Une remarque :
Pour R = 1, 2 ou 3, le nombre de points à l'intérieur du disque de rayon R est bien 1+E(
R2).
Par ailleurs, avec le centre (0,0), il peut y avoir des sauts de plus que 8.
Voir mon message de 10h17 :
Le cercle de centre O et de rayon 5 passe par au moins 12 points de coordonnées entières.
Celui de rayon 65 passe par au moins 36 points de coordonnées entières
Bon, on s'amuse bien, mais maro999 me semble très discret !
Ce serait intéressant d'avoir ses réactions.
Ce serait bien aussi qu'il perde l'habitude de poster ses exercices sans les accompagner de la moindre trace de recherche 
Je ne suis pas sur que :
C'est la définition même de
Si le centre du cercle est à coordonnées rationnelles, en augmentant le rayon du cercle, on peut aussi en récolter plusieurs d'un coup : ceux qui sont sur la droite passant par O et ce point (de coefficient directeur le quotient des coordonnées).
Je ne suis pas sur que :
C'est la définition même de
Si le centre du cercle est à coordonnées rationnelles, en augmentant le rayon du cercle, on peut aussi en récolter plusieurs d'un coup : ceux qui sont sur la droite passant par O et ce point (de coefficient directeur le quotient des coordonnées).
Par ailleurs, avec le centre (0,0), il peut y avoir des sauts de plus que 8.
Voir mon message de 10h17
a2 + b2 = c2 + d2
=> a2= c2 ou d2
a,b,c,d étant entiers.
Oui, pour assez grand, pour obtenir l'équivalent. Il faut faire un encadrement pour obtenir un équivalent, l'inégalité dans un sens ne suffit pas.
Petite remarque : on ne peut pas parler du cercle de rayon , car
varie dans une fourchette pour répondre au problème.
Ce problème est encore non résolu (voir Wikipedia) : c'est quand même assez fort qu'il soit proposé à l'oral de l'X, où on va logiquement commencer par chercher à résoudre l'équation de carpediem pour calculer en fonction de
, et on peut y passer du temps ..., avant de penser à passer à une autre méthode.
Bonsoir.
En effet on ne peut pas définir précisément Rn avec l'énoncé donné.
Pour avoir une définition de Rn on pourrait prendre la borne inférieure des valeurs possibles, ce qui revient à considérer le plus petit disque fermé de centre contenant exactement n points.
Ce qui est très différent du problème du « cercle de Gauss ».
Il est assez clair que toutes les distances de aux points de
sont différentes : si il y en avait deux égales
serait rationnel.
Justification.
Si avec M et N à coordonnées entières
et
en considérant les carrés des distances on a :
et il est évident que l'on en tire une valeur rationnelle de si
On peut remarquer que ce n'est pas le cas si on remplace par
Finalement, si on ne demande pas de justification précise, c'est un exercice facile.
J'en profite pour corriger mes premiers messages
Bonjour,
il me semble assez évident que le nombre de points entiers dans le disque est à peu près proportionnel à son rayon aire.
Plus précisément on peut voir ce nombre comme une approximation de l'aire du disque, d'autant meilleure que n est grand.
Même chose pour la boule en dimension 3.
Sauf erreur de ma part, pour qu'un centre convienne il faut et il suffit que ses coordonnées soient linéairement indépendantes dans R vu comme espace vectoriel sur Q.
Dans le plan : (a;b) convient comme centre ssi a/b est irrationnel.en fait il faut qu'aucune médiatrice de points entier ne passe par le centre.
Ce qui entraîne qu'aucune des coordonnée du centre n'est de la forme
Bonjour,
Si le centre du cercle est à coordonnées rationnelles, en augmentant le rayon du cercle, on peut aussi en récolter plusieurs d'un coup : ceux qui sont sur la droite passant par O et ce point (de coefficient directeur le quotient des coordonnées).
Je rectifie : il faut que les coordonnées du centre soient rationnelles, et de plus, vérifient une certaine condition, alors les points chopés d'un coup ne sont pas sur la droite (OI), mais sur une médiatrice passant par I.
Exemple : pour I=(7/3,1/3), le points (3,0) et (2,1) sont chopés d'un coup.
Je dirais : exercice facile dès qu'on sait que le problème direct (nombre de points entiers dans un disque de rayon R) est non résolu ; la recherche d'un équivalent de Rn deux lignes plus bas dans l'énoncé peut induire en erreur !
Je peux me tromper, mais je pense que seule la première question est posée à l'oral avec un temps de préparation.
Les prolongements viennent après, si le candidat a déjà réussi cette question et qu'il reste du temps après ses explications orales.
et il est évident que l'on en tire une valeur rationnelle de
On peut remarquer que ce n'est pas le cas si on remplace
Je peux me tromper, mais je pense que seule la première question est posée à l'oral avec un temps de préparation.
Les prolongements viennent après, si le candidat a déjà réussi cette question et qu'il reste du temps après ses explications orales.
Merci Sylvieg, je comprends mieux.
je vois que le sujet inspire du monde ...
une autre approche (à l'envers)
je note (a, b) les coordonnées du centre I du disque D et r > 0 sont rayon
M(x, y) un point courant du disque à coordonnées entières ...
alors et le côté du carré circonscrit au disque mesure 2r
on a donc en moyenne entre points à coordonnées entières dans ce carré
or l'aire du disque inscrit représente de l'aire du carré …
si n est le nombre de points à coordonnées entière disque on aura donc
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