Bonjour voici le 1 exercice du Bac de nouvelle Calédonie de cette année Bac S - Nouvelle Calédonie - Mars 2012

Partie A :
On considère le polynôme P défini sur par P(z)=z^3 - (2+i2)z² + 2(1+i2)z - 2i2.

1. Montrer que le nombre complexe zo = i2 est solution de l'équation P(z)=0.

2. a) Déterminer les réels a et b tels que P(z)= (z-i2)(z²+az+b).
    b) En déduire les solutions dans de l'équation P(z)=0.


Partie B :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct . On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : za=1+i ; zb=1-i ; zj=i2 ; zk= e((3i)/4)

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à -2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d'affixe zD=-1+i . On considère la rotation r de centre O qui transforme J en D.
    a) Déterminer une mesure de l'angle de la rotation r.
    b) Soit C l'image du point L par la rotation r. Déterminer l'affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.


Mes réponses:

1) P(zo) = (i2)^3 - 2(2+i2)(i2)² + 2(1+i2)i2 - 2i2
P(zo) = -2i2 + 4 + 2i2 + 2i2 - 4 - 2i2
P(zo)=0

zo est bien une solution P(z)=0

2a) P(z)= z^3 - 2z² - i2z² + 2z + 2i2z - 2i2
P(z) = (z - i2)(z² - 2z + 2)

a= -2  et b = 2

b)

P(z)=0  <=>   (z - i2)(z² - 2z + 2) = 0

z-i2 = 0   <=>  z=i2   z=zo
ou alors
z² - 2z + 2 = 0
= 4 - 8 = -4
z1 = (2 - i-(-4))/2 = 1-i
z2 = (2 + i-(-4))/2 = 1+i

Les solutions sont donc z0 z1 et z2.

Parti B:

2) Pour cette question, peut-on consindérer que L est l'image de J dans l'homothétie de centre K et de rapport -1 ? car j'ai essayer avec la formule z' - = k(z - ) mais je ne suis pas arriver a la bonne conclusion. je suis donc parti du principe que l'on faisait une translation:

zJ-zK = 2/2 + i2/2

zL = zK - (2/2 + i2/2)
zL = -2

3) C'est ici que je bloque, je ne sais pas comment on trouve le centre du cercle lorsque l'on possède l'affixe de 4 de ces points.

Merci d'avance pour votre aide !