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Nombres complexes

Posté par
Artemis
03-02-13 à 19:46

Bonsoir.
J'ai un exercice sur lequel je bloque depuis un bon moment, si vous pouviez m'aider à me (re)lancer, je vous en serais reconnaissant... Voici l'énoncé:

Citation :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,,)
On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que : z'=z²
On note le point d'affixe 1.

1. Déterminer l'ensemble (E1) des points M du plan tels que f(M)=M

2. Soit A le point d'affixe a=2-i2
a. Exprimer a sous forme exponentielle.
b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f.

3. Déterminer l'ensemble (E2) des points M d'affixe z tels que l'affixe z' du point M' soit un nombre imaginaire pur.

4. On souhaie déterminer l'ensemble (E3) des points M distincts de pour lesquels le triangle MM' est rectangle isocèle direct en :
a. Montrer que le triangle MM' est rectangle isocèle direct en si et seulement si (z'-1)/(z-1)=i et z1.
b. En déduire que M est un point de (E3) si et seulement si z²-iz-1+i=0 et z1.
c. Montrer que z²-iz-1+i=(z-1)(z+1-i)
d. En déduire l'ensemble (E3).

5. Soit M un point d'affixe z différente de 0 et de 1:
                  
a. Exprimer(OM,OM') en fonction d'un argument de z.
b. En déduire l'ensemble (E4) des points M distincts de O et de tels que O,M et M' soient alignés.

Voici mes réponses pour le moment (je n'ai fait que le début):
1. f(M)=Mz'=zz²=z mais après où cela doit-il me mener?
2.a. J'ai trouvé a=2ei(3/4)
b. Ici je ne sais pas si z²=a ou si z²=a²... Et ensuite les 2 antécédents comment je les trouve? en ajoutant k?
3. On a z'=z²=(x+iy)²=x²-iy+2ixy
Or z' est un imaginaire pur donc x=0
on a donc z'=-iy.
Dois-je mettre autre chose où cela suffit-il?

Merci d'avance pour vos lumières...

Posté par
veleda
re : Nombres complexes 03-02-13 à 23:10

bonsoir,
1)z=z² doncz²-z=0 <=> z(z-1)=0  donc ..
2)
a=2(\frac{\sqr2}{2}-i\frac{\sqr2}{2}) ce qui donne arg(a)=-\frac{\pi}{4} le cosinus est positif et le sinus négatif
a=2e^{\frac{-i\pi}{4}
b) c'est a=z²

3)z'=(x+iy)²=x²-y²+2ixy
z' imaginaire pur si sa partie réelle est nulle=>x²=y² soit y=x  ou y=-x donc E2 est formé des droites d'équation y=x et y=-x privées du point O car si x=0 ou y=0 z=0 et n'est pas imaginaire pur

Posté par
Artemis
re : Nombres complexes 04-02-13 à 20:08

1) donc z=0 ou z=1
donc les points O et appartiennent à l'ensemble (E1).
2)a) En effet, je l'avais refait après, et j'ai bien trouvé ce résultat.
b) Ici j'ai z²=az²=2ei(-/4)
z=2ei(-/8) ou z=2ei(7/8) C'est bien ça?
3) Ah oui je comprends.

Donc je vais essayer de faire la suite moi-même je posterai sans doute dans la soirée, merci beaucoup en tous cas!

Posté par
veleda
re : Nombres complexes 04-02-13 à 22:29

b) c'est exact



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