Citation :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,,)
On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que : z'=z²
On note le point d'affixe 1.

1. Déterminer l'ensemble (E1) des points M du plan tels que f(M)=M

2. Soit A le point d'affixe a=2-i2
a. Exprimer a sous forme exponentielle.
b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f.

3. Déterminer l'ensemble (E2) des points M d'affixe z tels que l'affixe z' du point M' soit un nombre imaginaire pur.

4. On souhaie déterminer l'ensemble (E3) des points M distincts de pour lesquels le triangle MM' est rectangle isocèle direct en :
a. Montrer que le triangle MM' est rectangle isocèle direct en si et seulement si (z'-1)/(z-1)=i et z1.
b. En déduire que M est un point de (E3) si et seulement si z²-iz-1+i=0 et z1.
c. Montrer que z²-iz-1+i=(z-1)(z+1-i)
d. En déduire l'ensemble (E3).

5. Soit M un point d'affixe z différente de 0 et de 1:
                  
a. Exprimer(OM,OM') en fonction d'un argument de z.
b. En déduire l'ensemble (E4) des points M distincts de O et de tels que O,M et M' soient alignés.