Bonjour

Le corps des nombres algébriques est strictement inclu dans

Ce qui veut dire que tout nombre complexe n'est pas algébrique , la partie imaginaire d'un nombre algébrique étant purement complexe n'est donc pas forcémment algébrique .
Maintenant il reste à savoir si est stable pour l'addition pour la deuxiéme partie de ta question . J'y réfléchis


Jord

Salut
je ne comprends pas trop ta réflexion nightmare il est évident que tout nombre complexe ne peut pas être algébrique sinon tout nombre réel le serait et ce n'est pas le cas sinoon on ne parlerait pas de nombre transcendant comme ou

De plus tu dis la partie imaginaire d'un nombre algébrique étant purement complexe, je ne comprends pas trop non plus car la partie imaginaire d'un nombre complexe est réel.

De plus est tu sur que l'ensemble des nombres algébriques forment un corps, personnellement je n'en suis pas sur d'autant plus que si c'est le cas alors ton interrogation quand à la stabilité par addition n'a pas lieu d'être

Je ne pense donc pas que tu es répondu à sa question.
Pour l'instant je n'ai pas trop eu le temps de réfléchir à ce problème.

Hum oui en effet , j'ai un peu dit du n'importe quoi , je n'ai pas trop réfléchis non plus à vrai dire . Ce dont je suis par contre sur , c'est que l'ensemble des nombres algébriques est bel est bien un corps ( c'est marqué dans mon bouquin )


Jord

Ca je veux bien te croire je n'ai pas réfléchi du tout mais si c'est un corps il est donc évident que si x et y sont dans ce corps
x+iy est dans ce corps
en effet iy est dans ce corps comme produit de 2 algébriques
Et x+iy aussi comme somme
D'ailleurs ce résultat peyut se retrouver en utilisant le degré des extensions algébrique, on vérifie assez facilement que est une extension de degré fini si x et y sont algébrique et donc x+iy est algébrique.

Ce qui montre en même temps que cet ensemble est bien un corps

ainsi la réponse à la deuxième question est oui, j'avais oublié de conclure

Oui , dans ce cas là il est vrai que la question est simple , il serait donc plus interressant de démontrer que c'est un corps


Jord

La deuxième partie est simple et même sans utiliser que c'est un corps mais en utilisant les extensions algébriques aucun souci parconrre la première question ne me semble pas aussi évidente que cela
pour montrer que c'est un corps seul souci et de montrer que tout élément non nul est inversible et cela ne doit pas être si compliqué que cela

Quoique le pb de l'inverse n'est peut être pas si évident que cela.
Cependant es tu sur que c'est un corps car on parle svt de corps algébriques, mais ce ne sont pas en général des corps contenant tous les nombres algébriques

hum , c'est simple en disant que est un sous-ensemble de , or tout élément non nul de est inversible , il en est donc de même pour tout élément de non ?


Jord

Bon c bien uncorps excuse moi mais comme je ne l'avais jamais étudié je n'étais pas sur

Non ta proposition ne suffit pas est un sous ensemble de et pourtant ses éléments ne sont pas tous inversible dans

Il faut vérifier que si x est inversible 1/x l'est aussi

arf oui , je suis c** moi . Bon allez , je vais essayer de chercher , le premier qui trouve post


Jord

Mais bon c pas trop dur quand même
Soit P tel que P(x)=0

Or x est non nul donc si on se place dans C on peut en déduire que
et donc que 1/x est algébrique

J'espère que tu as compris malgré le pb de typographie

Oui en effet c'est même plutot simple

Donc est effectivement un corps . Ce qui confirme bien la question 2)


jord

Oui reste la question 1 qui est moins évidente
soit c vrai soit il faut trouver un contrexemple avec x+iy algébrique et x et y transcendant

Re

En fait il y a un contre exemple évident :

Si l'on prend :
, pourtant est transcendant .
Donc l'assertion est fausse


Jord

Je sais pas si cela peu aidé mais si x+iy est algébrique on a assez facilement x+y algébrique

n'est pas transcendant il est irrational mais algébrique tu as confondu les 2 notions

Je pense avoir trouvé un contre-exemple.
Si z=e^(2i*pi/7), z est algébrique car z^7=1.
z s'écrit aussi cos(2pi/7)+i.sin(2pi/7)
Il faut maintenant savoir si cos(2pi/7) est algébrique ou transcendant.
Je pense qu'il est transcendant mais je n'en ai pas la démonstration.

Je me disais bien que c'était trop simple

Non non je n'avais pas confondu les deux , je m'étais juste imaginé que n'était solution d'aucune équation algébrique , je ne sais pas d'ou m'était venu cette idée lol

Je m'y replonge


Jord

Salut moi aussi je pensai a un contrexemple du style qui est clairement algébrique car racine de l'unité cependant je ne sais pas si il existe un couple (n,k) tel que soit transcendant

non en fait il ne peut pas etre transcendant car donc comme on est dans un corps c'est impossible qu'il soit transcendant

Je me demande si la réponse n'est pas en fait oui
en effet si z est algébrique il est peut etre possible de montrer que son conjugué l'est aussi ainsi partie réelle et partie imaginaire le sont

Et je pense qu'en utilisant le binome de newton on peut montrer assez facilement que si z est algébrique son conjugué l'est aussi

Je ne sais pas si ça peut aider , mais il y a le théoréme de Gelfond-schneider :
Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre a^b est transcendant


Jord

http://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php

Ainsi il y a bien équivalence z algébrique ssi Re(z) et Im(z) sont algébriques

En fait, lorsque l'on parle d'un nombre algébrique, c'est sur un certain corps.
Ici il est facile de voir ce qui se passe:

Si on considère que z=a+ib est un nombre algébrique sur Q, (a,b dans R), alors t(z) est aussi algébrique sur Q (le montrer).
On a de plus, que l'ensemble des nombres algébriques est un corps, et donc que z+t(z) et z-t(z) sont dans Q, et donc leur moitié également.

En fait, on a même pas besoin de ceci si on y regarde bien:

z est algébrique sur Q signifie qu'il existe f non nul à coeffs dans Q, tels que f(z)=0. Notamment, il est trivial de voir que f(t(z))=t(f(z))=0, ainsi non seulement f est polynôme annulateur de z, mais aussi de t(z).
Q(z) est le plus petit corps contenant z, mais c'est aussi Q/(f) où f est le polynôme minimal de z. En fait, Q(z) contient alors également t(z), et donc leur demi différence ou demi somme.

Donc si z est algébrique, ses parties imaginaires et réelles aussi.

L'autre sens de l'équivalence est plus simple:
Si z=a+ib avec a et b algébriques sur Q, alors il existe une extension de Q qui contient a et b, notée Q(a,b).
De plus, i est également algrébrique, et donc il existe une extension contenant a,b et i, donc toutes les combinaisons souhaitées entre a,b et i, notamment a+ib et a-ib.

Donc, z est algèbrique sur Q si et seulement si Re(z) et Im(z) le sont.
A+

cos(2Pi/7) n'est certainement pas transcendant, son polynôme minimal sur Q est X^3+X^2-2X-1.

Si on pouvait modifier ses posts, je modifierai le fait que
Q(z)=Q/(f), mais plutôt Q(z)=Q[X]/(f) comme on l'aura sans doute compris...

Pour montrer que l'ensemble des nombres algébriques forme bien un corps, il suffit de montrer que si on a un nombre algébrique, Q(a) ne contient que des nombres algébriques...