Niveau BTS

Nombres complexes et géométrie

Posté par makawel77 (invité) 01-10-05 à 15:18

Bonjour a Tous !

En se moment j'étudis les nombres complexes, et la je suis en train de faire quelque exercice et il y en a un où il faut MONTRER des équivalence. Si Vous pouviez m'aidé a mieu les comprendres , me les expliquer , sa m'aiderais surment pour d'autre exercice.

Soient a;b;c € C distincts.Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
a) Les points A,B,C d'affixe a;b;c forment un triangle équilatéral.
b) j ou j² est racine de az²+bz+c=0
c) a²+b²+c² = ab+ac+bc
d) (1/a-b)+(1/b-c)+(1/c-a)=0

Merci Pour votre aide!

Posté par re : Nombres complexes et géométrie 01-10-05 à 15:40

Tiens c'est un exercice que j'ai eu il y a à peine une semaine à mon dernier DS de maths. Enfin pas exactement mais c'était très proche

As-tu réussi à faire quelque chose ? Si non, essaye déjà de voir si tu ne peux pas déduire une relation liant a, b et c à partir du a)
Si tu ne vois toujours pas, je te donnerai alors quelques indications.

Bon courage.

Posté par makawel77 (invité)re : Nombres complexes et géométrie 01-10-05 à 16:55

                                     _
Si a = x+iy , il faut que b = a
    et que C soit un réel ?
               c'est sa ?
Je suis vraiment nul avec les nombres complexe, donc sa m'étonnerai pas que sa soit faux!

Posté par re : Nombres complexes et géométrie 01-10-05 à 17:10

Pense aux arguments et aux modules, il s'agit d'un triangle équilatéral (rapport des longueurs ? angle ?).

Posté par re : Nombres complexes et géométrie 01-10-05 à 23:48

Pour commencer,

a) Les points A,B,C d'affixe a;b;c forment un triangle équilatéral

On a donc $\frac{AC}{BC}=1$ $\frac{|c-a|}{|b-a|}=1$
mais aussi : $(\vec{AB},\vec{AC})=arg(\frac{c-a}{b-a})=\frac{\pi}{3}[2\pi]{}$

D'où $\frac{c-a}{b-a}=exp(i\frac{\pi}{3}$

Posté par re : Nombres complexes et géométrie 02-10-05 à 00:06

Pour la suite je ferai comme ça mais il y a sûrement plus rapide..

On a de même $\frac{a-b}{c-b}=exp(i\frac{\pi}{3}$ $a-b=(c-b)exp(i\pi/3$
                                   $a+b(exp(i\pi/3)-1)-c exp(i\pi/3)=0$
                                   $a+b(exp(i\pi/3)-1)+exp(i\pi)\times{c} exp(i\pi/3)=0$
                                   $a+b(exp(i\pi/3)-1)+c exp(4\pi/3)=0$
                                   $a+b(exp(i\pi/3)-exp(i0))+cj^2=0$ et $j=exp(i2\pi/3)$
                                   $a+b\times{exp(i\pi/6)}(exp(i\pi/6)-exp(-i\pi/6))+cj^2=0$
                                   $a+b\times{exp(i\pi/6)}(2i\times{sin(\pi/6)})+cj^2=0$
                                   $a+b\times{exp(i\pi/6)}(2i\times{\frac{1}{2}})+cj^2=0$
                                   $a+b\times{exp(i\pi/6)}exp(i\pi/2)+cj^2=0$
                                   $a+b\times{exp(i2\pi/3)}+cj^2=0$
                                   $a+bj+cj^2=0$

Etant donné que c'est assez long à taper, j'attendrai une réponse de ta part avant de poursuivre éventuellement si tu ne trouves pas la suite. Là je vais me coucher

Bon courage.
PS: s'il y a un passage que tu ne comprends pas, j'essayerai de détailler plus.

Posté par re : Nombres complexes et géométrie 02-10-05 à 01:52

Bonsoir;
A mon avis,un chemin économique pour montrer ces quatres équivalences est $2$\fbox{a)\Longrightarrow b)\Longrightarrow c)\Longrightarrow d)\Longrightarrow a)}$
$3$\blue\fbox{a)\Longrightarrow b)}$ Suivant que le triangle $ABC$ est direct ou pas on passe de $B$ à $C$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $-j^2=e^{\frac{i\pi}{3}}$ ou $-j=e^{\frac{-i\pi}{3}}$ ce qui se traduit par:
$3$\fbox{ou\{{c-a=-j^2(b-a)\\c-a=-j(b-a)}$ ou encore vu que $2$\fbox{1+j+j^2=0}$ par:
$3$\fbox{ou\{{ja+j^{2}b+c=0\\j^{2}a+jb+c=0}$ ou encore vu que $2$\fbox{j^3=1}$ par:
$3$\fbox{ou\{{(j^2)^{2}a+j^{2}b+c=0\\j^{2}a+jb+c=0}$ c'est à dire que $j$ ou $j^2$ est racine de $az^2+bz+c=0$ d'où $b)$ .
$3$\blue\fbox{b)\Longrightarrow c)}$ vu que pour $\fbox{z\in\{j,j^2\}}$ on a $\fbox{z^3=1}$ on peut écrire que:
$3$\fbox{et\{{a=-bz^2-cz\\b=-cz^2-az\\c=-az^2-bz}$ soit encore que $3$\fbox{et\{{ab=-b^{2}z^2-bcz\\bc=-c^{2}z^2-acz\\ca=-a^{2}z^2-abz}$ et en sommant ces trois égalités que:
$3$\fbox{(1+z)(ab+bc+ca)=-z^2(a^2+b^2+c^2)}$ et il suffit maintenant de remarquer que pour $\fbox{z\in\{j,j^2\}}$ on a $\fbox{1+z=-z^2\neq0}$ pour déduire que $3$\fbox{ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2}$ c'est à dire $c)$ .
$3$\blue\fbox{c)\Longrightarrow d)}$ Notons $3$\fbox{X=b-c\\Y=c-a\\Z=a-b}$ d'où $3$\fbox{XY=bc+ca-ab-c^2\\YZ=ca+ab-bc-a^2\\ZX=ab+bc-ca-b^2}$
d'où $3$\fbox{XY+YZ+ZX=ab+bc+ca-(a^2+b^2+c^2)=0}$ il suffit maintenant de diviser par $\fbox{XYZ\neq0}$ pour avoir $d)$ .
$3$\blue\fbox{d)\Longrightarrow a)}$ en partant de $3$\fbox{\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=0}$ on voit que $3$\fbox{\frac{c-a}{a-b}+\frac{c-a}{b-c}+1=0}$ ou encore $3$\fbox{\frac{c-a}{a-b}+\frac{b-a}{b-c}=0}$ ou encore $4$\fbox{\frac{c-a}{b-a}=\frac{a-b}{c-b}}$ ce qui se traduit par:
$4$\fbox{et\{{AB^2=AC\times BC\\(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}})\equiv(\widehat{\vec{BC},\vec{BA}})[2\pi]}$ ce qui veut dire que $ABC$ est isocèle en $C$ et donc que $AC=BC$ et donc que $AB=BC=AC$ et ca c'est bien $a)$ .
CQFD

Sauf erreurs bien entendu

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