f(x) = 1/(x+1)

f '(1) = lim(x-> 1) [(f(x) - f(1))/(x-1)]
f '(1) = lim(x-> 1) [(1/(x+1) - (1/2))/(x-1)]
f '(1) = lim(x-> 1) [(2-x-1)/(2(x+1))]/(x-1)
f '(1) = lim(x-> 1) [(1-x)/(2(x+1))]/(x-1)
f '(1) = lim(x-> 1) [-1/(2(x+1))] = -1/4
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f(x) = 1/x²

f '(-1) = lim(x-> -1) [(f(x) - f(-1))/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1/x²)- 1)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1-x²)/x²)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) [(1-x)(1+x)/x²)/(x+1)]
f '(-1) = lim(x-> -1) (1-x)/x² = 2/1 = 2
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Sauf distraction.  

Merci mais il y a une autre méthode avec un h, est ce que quelqu'un peut m'expliquer !

Ainsi ?

f(x) = 1/(x+1)

f '(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [(1/(x+h+1) - (1/(x+1))/h]
= lim(h->0) [(x+1-x-h-1)/(h(x+1)(x+h+1))] =  lim(h->0) [-h/(h(x+1)(x+h+1))]
=  lim(h->0) [-1/(x+1)²]

Pour x = 1 ->
f '(1) = -1/(1+1)² = -1/4
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f(x) = 1/x²
f '(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [(1/(x+h)² - (1/x²))/h]
= lim(h->0) [(x²-(x+h)²/(hx²(x+h)²)] = lim(h->0) [(x²-(x²+2xh+h²)/(hx²(x+h)²)]
= lim(h->0) [-(2xh+h²)/(hx²(x+h)²)] = lim(h->0) [-(2x+h)/(x²(x+h)²)]
= lim(h->0) [-(2x)/(x²(x)²)] = -2/x³

Pour x = -1 ->
f '(-1) = -2/-1 = 2
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Merci beaucoup pour toutes ces explications ! J'ai un dernier petit problème :

Soit les fonctions f et g définies sur R par f(x) = k où k est un réel donné et g(x) = x.
Démontrer que ces deux fonctions sont dérivables en tout réel a et determiner les deux nombres dérivés.

Merci beaucoup pour votre aide.

pour tout x f(x) = k donc :
soit x un réel
lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim(h->0) [ (k - k)/h]
on trouve donc que lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = 0
l'expression a une limite finie donc f est dérivable en x, donc sur R car x réel quelconque.

même principe pour la 2ème, tu devrais y arriver.

Le plus facile est de dérivé ta fonction (si tu sais comment faire??)puis de remplacer x par a dans la dérivée. Ca va beaucoup plus vite,mais je sais pas si tu as le droit de le faire dans cette exercice.