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Nombres premier congrus à 3 modulo 4
Bonsoir à tous, j'ai un exercice à résoudre mais j'ai du mal à trouver comment faire.
Voici l'énoncé :
On veut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
1°) Soit M un entier, M є N (ensemble des entiers naturels). On suppose M ≡ 3 mod 4. Montrer que M admet un facteur premier congrus à 3 modulo 4.
2°) On suppose par l'absurde qu'il en existe un nombre fini de nombre premier congru à 3, que l'on note p[1], ..., p[n]. Conclure en considérant l'entier M = 4p[1]...p[n]-1
Remarque : p[1] veut dire "p indice 1" et p[n] veut dire "p indice n".
Donc pour la question 1) j'ai un peu commencé mais je bloque:
Supposons N pair. Il peut donc s'écrire sous la forme N = 2n avec n appartenant à N|.
N = 2n - 3 est forcément un nombre impair.
Par conséquent N ne peut pas être pair.
N est donc un nombre impair. Il s'écrit donc comme le produit de deux nombres impairs.
Voilà c'est tout ce que j'ai pu faire lol. Je compte sur la communauté pour être aussi réactive que la première fois ou j'ai posté ici il y a quelque temps.
Bonne soirée et merci d'avance à ceux qui se creusent les méninges sur mon problème !
1) c'est classique!
par l'absurde, si M=p_1...p_k avec pour tout i.
alors par compatibilité avec le produit, 1*1*...*1 [4] donc
: ceci est exclut.
2) c'est maintenant clair ?
merci pour ta réponse.
Alors voilà j'ai à peu prêt compris ton raisonnement mais je ne vois pas en quoi ça montre que M admet un facteur premier congrus à 3 modulo 4. ça montre juste que M peut se décomposer en facteurs qui sont congrus à 3 mod 4 mais rien ne dis qu'il y en a un de premier non ?
Sinon pour la question 2 je vois pas...
Une idée ?
si tu supposes qu'aucun facteur premier est congru à 3 mod [4] alors nécessairement il sont tous congru à 1 mod 4 et je ne peux que me répéter.
mais rien ne dis qu'il y en a un de premier non
on a pris la décomposition primaire de M...
2) M donné.
on a:
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