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Nombres premiers
Voici un exercice qui me pose quelques problèmes:
1) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment peut on encore écrire cette somme:
S = 1+2p+22p+23p+...+2p(q-1)
Je pense que S est la somme d'une suite géométrique mais je n'en suis pas sûre et je n'arrive pas à trouver sa raison.
2)En déduire que 21 (2p-1)
3)Démontrer que 2pq-1 est divisible par 2p-1 et par 2q-1
4)En déduire que si 2n-1 est premier alors n est lui même premier. La réciproque est-elle vraie?
Note
Dans une première question, j'ai déjà montré que 211-1 est premier. Cela peut peut être servir.
Merci beaucoup de votre aide
veuillez m'excuser mais dans la note, je dit que 211-1 est premier or c'est faux, j'ai justement montré le contraire!!
Salut
1)En effet c'est une suite géométrique, et donc sa raison est le deuxième terme de ta somme
Et tu sommes de 0 à q-1, donc a priori tu sais calculer la somme qui est
2)ca serait pas plutot demontrer que
a ce moment la tu as bien le résultat car est divisible par
, en effet d'après la quetsion 1 la division euclidienne admet un reste nul
3)on a déjà l'un des 2 diviseurs par la question précédente, et l'autre s'obtient grace à une somme presqu'identique il suffit d'intervertir le role de p et q
4) la récirpoque est fausse d'après ton contre exemple n=11 premier et pourtant ne l'est pas.
Pour ce qui est de la proposition
supposons n n'est pas premier alors il existe a et b différent de 1 tel que n=ab et alors divise
et pourtant il est différent de 1 et de
, ainsi
ne peut pas être premier.
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