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Nombres premiers
Bonjour,j'ai un exercice à faire et je ne sais pas comment faire.
Voici l'énoncé:
1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la
forme 4n - 1.
2. Soit E l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n - 1.
Montrer que E posséde au moins deux éléments.
3. On suppose que E est un ensemble fini. Soit P le produit de tous les éléments de E
et soit X = 4P + 1.
(a) Montrer que X > P. Quel est le reste de la division euclidienne de X par 4 ?
(b) Montrer que X n'est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier
de X est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n - 1.
(c) On suppose que tous les diviseurs premiers de X sont de la forme 4n + 1.
Quel est alors le reste de la division de X par 4 ?
En déduire que X possède au moins un diviseur premier de la forme 4n - 1.
(d) Soit p un diviseur premier de X de la forme 4n - 1.
En déduire une contradiction.
Conclure.
Merci d'avance
Au revoir
Bonjour
Pour commencer...
1. Pense qu'un nombre premier autre que 2 est forcément impair
2. Tu dois quand même pouvoir citer deux nombres premiers de la forrme 4n-1 (fais des essais)
3. a) C'est clair que le reste vaut 3.
Essaye de faire tout ça, normalement tu devrais pouvoir continuer, mais si tu n'y arrives pas, reviens!
Pour la 2 j'ai réussi.
Et pour la 1 j'ai prouvé 4n+1 ou 4n-1 n'étais divisible que par 1 ou lui même:
J'ai montrer que le reste de la division euclidienne de 4n+1(et respectivement de 4n-1) par 3n;3+1 et 3n+2 n'était pas nul
Est ce bon ?
et pour la 3a)je ne vois pas comment montrer que le reste est 3...
Et donc je n'y arrive pas pour le reste de l'exo...
C'est faux que 4n+1 ou 4n-1 soit premier pour tout n. Essaye avec n=9.
3)b) Si tous les diviseurs premiers de X étaient de la forme 4n+1, le reste serait égal à 1, or comme c'est 3...
Bonjour Camelia,
le truc qui est bizarre dans le dm de Rapture c'est que dans sa question 1 il est mis :
Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la forme 4n - 1
Sa voudrait dire que tout les nombres de ces formes sont premiers vu le sens de la phrase.
Or comme tu l'a dit avec n=9 4n-1 n'est pas premier.
Y aurait-il une erreur dans son énoncé ?
Pareil avec n=5, 4n+1 n'est pas premier !?!
Il est assez dur ton dm Rapture !!!
Amicalement,
Takeru.
Rapture le reste est 3 car 4P-1 est congru à -1 modulo 4 et donc congru à 3 modulo 4.
Amicalement,
Takeru.
P.S. Camelia connais tu la solution à la question 1 de Rapture? car j'ai essayé plusieurs choses à l'aide de mon cours mais je ne trouve pas. Merci.
Oui, bien sur. Tout nombre IMPAIR m divisé 4 a pour reste 1 ou 3.
Dans le premier cas m=4n+1 et dans le second de la forme m=4n+3=4(n+1)-1. Qu'il soit premier ou pas, ça ne change rien. Mais la question était
Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n + 1, soit de la
forme 4n - 1.
et en aucun cas on ne demandait la réciproque.
Pour la question 1 il faut juste montrer que 4n-1 et 4n+1 sont impairs?
si non que faut-il faire concrètement ?
Comment on montre que le nombre premier est d'une de ces deux formes ?
Amicalement,
Takeru.
P.S. pour Rapture : Tu te fiche de la valeur de P
tu as donc
donc
Je ne vois pas ce qui te trouble! Un nombre premier autre que 2 est forcément impair, puisque non divisible par 2, donc de la forme indiquée!
je crois que je me casse un peu trop la tête !!!!!
des fois je ne comprend pas trop le sens de la question (la preuve) et je cherche trop compliqué.
Pour la question 3)a) où il faut montrer que X > P
On sait que 4P > P puisque P est positif.
Mais comment montrer que 4P -1 > P ?
Amicalement,
Takeru.
D'accord j'ai compris pour la question sur le reste.Merci
Mais je ne comprends pas comment démontrer la question1)
Ni la question 3b) qui sont un peu similaires...
Pour la 3a) j'ai dit que 2<P car P est le produit de E avec 2 qui est exlu.
On a P+1>P
Donc 4P+1>4P
or 2<P donc 4P+1-2>4P-2>3P>P
Alors X>4P-2>3P>P
Conséquence=> X>P
Désolé pour le multi post mais c'est bon j'ai compris pour la 1):
Comme par suite on 4n-1 puis 4n puis 4n+1 puis 4n+2 puis 4n+3 etc...
En considérant juste les nombres impairs:
On a 4n-1 puis 4n+1 puis 4n+3(=4(n+1)-1) puis 4n+5(=4(n+1)+1)
Donc par suite on a que 4n1 et 4n-1 décrivent tous les entiers impairs de 
Or Tous les nombres premiers sont impairs(à part 2) donc un nombre premier(mis à part 2) s'écrira sous la forme 4n+1 ou 4n-1
C'est ça ?
je suis desolé de frapper l'incruste mais en lisant le sujet (par pur curiosité) j'ai lu ca:
On a P+1>P
Donc 4P+1>4P
P+1
P 4P+44P non?Pour la 3b) je crois avoir compris:
Comme X est impair(il n'est pas divisible par 2 et ses multiples) donc il est divisible que par des nombres impairs donc par des nombres de la forme 4n+1 ou 4n-1(question 1 on a prouvé que tous nombres impairs étaient de la forme 4n+1 ou 4n-1)
Pour la question 3c) j'ai trouvé que si les diviseurs de X sont de la forme 4n+1 alors comme 4 est pair le reste de la division euclidienne de X par 4 sera 1 ou 3
c'est ça ?
Si tous les diviseurs de X sont de la forme 4n+1, alors le reste de la division de X par 4 vaut 1. (ou tu sais te servir des congruences, ou tu le montres par récurrence sur le nombre de diviseurs).
Comme X=4P-1, ceci est faux, donc X possède un diviseur premier p de la forme p=4n-1.
mais on a supposé que P est le produit de TOUS les nombres premiers de cette forme, donc p doit diviser P. Or aucun nombre ne peut diviser A LA FOIS, P et 4P+1.
Ah non d'accord,donc il y a contradiction !
Par conséquent l'hypothèse de départ( il y a un nombre fini de nombres premiers de la forme 4n-1) est fausse donc il y en a une infinité !
C'est ça ?
oui, c'est ça!
je suis d'accord avec toi pour dire que c'est évident mais il faut bien le montrer ?
4P > P ça c'est ok car il est positif et tout le tralala.
Mais 4P-1 > P il faut pas dire quelque chose pour le montrer ?
La définition de P nous suffit-elle ?
Amicalement,
Takeru.
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