bonjour

pgcd(a;b)=2 on pose a=2x et b=2y x et y 1ers entre eux

il suffit de résoudre

6x+10y)(2x+4y)=1276 soit (3x+5y)(x+2y)=319 d'après 2 3x+5y et x+2y sont 1ers entre eux

comme 3x+5y>x+2y

on a:

x+2y=1  et 3x+5y=319 ce 1er système n'a pas de solution dans N

le 2ème x+2y=11 et 3x+5y=29 a une solution unique

x0=3 et y0=4

le systéme proposé a une solution a=6 et b=8

bon courage

bonjour

1)319=11*29

2) x et y premier entre donc il existent u et v entiers relatifs tels que tels que ux+vy=1

posons X=3x+5y et Y=x+2y

après calcul de résolution dy système précédent tu trouvera x=2X-5Y et y= -X+3Y

tu remplace x et y dans ux+vy=1

u(2X-5Y)+v(-X+3Y)=1 ssi (2u-v)X+(-5u+3v)Y=1
donc ils existen U=2u-v et V=-5u+3v tels que UX+VY=1
d'après Th de Besout X et Y sont premiers entre eux

3) (3a+5b)(a+2b)=1276
ab=2m

posons a=Da' et b=Db' avec D=PGCD(a,b) et a'^ b'=1

ab=2m d'autre par ab=mD donc 2m=mD donc D=2

(3a+5b)(a+2b)=1276 ssi 2²(3a'+5b')(a'+2b')=2²*319
                   ssi (3a'+5b')(a'+2b')=319
comme a' et b' sont premiers entre eux donc d'après 2) (3a'+5b') et (a'+2b')sont premiers entre eux.
donc (3a'+5b')(a'+2b')=319=11*29 ssi (3a'+5b'=1 et a'+2b'=319)
                                     ou (3a'+5b'=319 et a'+2b'=1)
                                     ou (3a'+5b'=11 et a'+2b'=29)
                                     ou (3a'+5b'=29 et a'+2b'=11)

tu veras, sachant que a et b sont des entiers naturels, que le seul cas possible est le qutrième qui donne a'=3 et b'=4 donc a=6 et b=8

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voila

Merci beaucoup cva

Merci à toi watik.
Mais pour la 2. j'ai calculer le pgcd(x+2y;3x+5y) par soustractions sucessives pour arriver à pgcd(x+2y;3x+5y)=pgcd(x;y)=1.
C'est bon aussi nan?

votre méthode ne tient pas compte du fait que x et y sont 1ers entre eux

je vous propose donc le raisonnement suivant:

soit d € N un diviseur commun de 3x+5y et de x+2y

alors d divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces 2 nombres ;en particulier

d divise -(3x+5y)+3(x+2y)=y

d divise 2(3x+5y)-5(x+2y)=x

donc d divise x et y

comme x et y sont 1ers entre eux d est égal à 1

il en résulte que 3x+5y et x+2y sont 1ers entre eux

bon courage