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Nombres premiers entre eux
Bonjour à tous,
J'ai du mal avec un problème concernant les nombres premiers entre eux, voilà l'énoncé :
Si m et n sont deux entiers premiers entre eux,
1) Montrer que m+n et mn sont premiers entre eux
2) Montrer que mn et m²+n² sont premiers entre eux
J'imagine qu'il faut utiliser le théorème de bézout. Puisque m et n sont premiers entre eux il existe deux entiers relatifs a et b tel que am + bn = 1
A partir de là j'ai essayer toutes sortes de manière pour transformer l'équation (élevé au carré, ajouter et soustraire certaines quantités pour factoriser) afin de montrer que m+n et mn étaient premiers entre eux mais sans succès.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît 
?
Merci d'avance !
Bonjour cher Jimli. Je crois que la méthode la plus efficace pour ce problème est le raisonnement par l'absurde ou tout au moins le raisonnement par contraposition. On sait que la contraposée de P 
Q est la proposition non(Q) non (P).Ainsi, pour les questions 1) et 2); nous allons procéder comme suit:
1) (m+n et mn non premiers entre eux ) implique (m et n non premiers entre eux).
pgcd(m+n,mn)
1, implique qu'il existe un nombre premier d qui divise à la fois mn et m+n. or d divise mn entraîne d divise m ou d divise n, car d est premier. Deux cas se présentent alors.
i) d divise m. puisque d divise aussi m+n; alors d divise n forcément. par conséquent, d divise n et m. ce qui contredit le fait que m et n soient premiers entre eux.
ii) d divise n. puisque d divise m+n; alors d divise m forcément. on constate que d divise n et m. ce qui est contraire à m et n premiers entre eux.
conclusion: mn et m+n sont premiers entre eux.
2) pour cette question, raisonne comme ci-dessus en supposant que mn et m2 + n2 ne sont pas premiers entre eux. ce qui entraîne l'existence d'un nombre premier d qui les divise. continue le raisonnement comme à la question 1); et tu obtiendras le résultat recherché.
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