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Nombres premiers entre eux et PGCD
Bonjour à tous !
Voilà, j'ai un exercice à faire pour jeudi, et je ne suis pas sûr du tout de ce que j'ai répondu. J'aurais d'un petit coup de main pour me rassurer, me rediriger si besoin 
L'énoncé est le suivant :
" On considère deux entiers naturels non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1.a Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b. En déduire que S = x + y et P = xy sont premiers entre eux.
c. Démontrer que les nombres S et P sont de parité différente ( l'un pair, l'autre impair).
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4. Déterminer deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
{ a + b = 84
{ ab = d3 avec d = PGCD ( a ; b )
( On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux.)
Et voilà mes réponses, avec des annotations ( entre parenthèses ) :
1.a. x et y sont premiers entre eux et S = x + y donc par combinaison linéaire ( ici, une addition ), x et S ainsi que y et S sont premiers entre eux. ( ça me semble un peu facile de répondre ça, il doit bien y avoir autre chose mais alors je ne vois pas ce que ça pourrait être )
b. D'après 1.a, ( S et x ) et ( S et y )sont premiers entre eux et par combinaison linéaire, P est premier avec x et y( par multiplication ) donc S et P sont premiers entre eux ( là, même doute que pour la 1.a )
c. Procédons par étude de cas :
x pair et y pair n'est pas un cas à prendre en compte puisque x et y sont premiers entre eux soit PGCD ( x ; y ) = 1 or si x et y sont pairs alors PGCD ( x ; y ) > 1. Donc ce cas est impossible.
si x impair et y impair : S = x + y est pair et P = xy est impair
si x impair et y pair ou l'inverse : S = x + y est impair et P = xy est pair.
( là non plus je ne pense pas que ça soit aussi simple, mais bon. )
2. Les diviseurs positifs de 84 sont, par ordre croissant:
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 7 - 12 - 14 - 21 - 28 - 42 - 84
( là, rien à dire )
3. Alors là, je fais comment ? J'ai essayé dedévelopper SP en remplaçant par des x et des y mais je trouve x2y + xy2 = 84, ce qui ne m'avance à rien. Je me suis dit que ma liste de diviseurs me servirait, mais ça m'étonnerait que j'aie à étudier tous les cas, vu le nombre de diviseurs, ce serait beaucoup trop long.
4. J'ai effectivement remplacé a et b par dx et dy et je trouve :
{ dx + dy = 84
{ dx * dy = d3 soit xy = d.
Mais je ne vois absolument pas comment faire ensuite avec ce que j'ai. A quoi ça me sert de savoir que x et y sont premiers entre eux, à part que PGCD ( x ; y ) = 1 ? En plus, je ne vois pas comment utiliser ce PGCD.
Bref, je suis un peu paumé...
Merci à l'âme charitable qui passera par là !
Hello,
1.a.
x et y sont premiers entre-eux
x+
y=1(x+y)+(-)y=1S+'y=1S et y sont premiers entre-eux.
Je te laisse trouver le même raisonnement pour S et x.
1.a
On peut aussi raisonner par l'absurde :
si x et S ne sont pas premiers entre-eux il existe d différent de 1 divisant x et S donc divisant aussi x et S-x=y...contradiction puisque x et y sont premier entre-eux. Donc x et S sont premiers entre-eux.
Idem avec y et S.
3)
Ben pour SP il n'y a que quelques possibilités :
1 
84
3 28
4 21
7 12
Je ne vois que le dernier cas qui peut convenir...à toi de trouver x et y.
4)
Oui tu as déjà fait une partie du travail....si tu continues un peu tu arrive à (xy)(x+y)=84 avec x et y premiers entre-eux. Donc tu retombes sur la question précédente.
1.b
Première solution :
aS+bx=1 car S et x premiers entre-eux.
a'S+b'y=1 idem.
On multiplie membre à membre :
(aS+bx)(a'S+b'y)=1
Tu développes tu réarrange pour écrire :
AS+BP=1.
1.b
Seconde solution :par l'absurde:
Supposons que a+b et ab non premiers, il existe alors d tel que:
d|a+b
d|ab
Montrons que dans ce cas, d|a et d|b:
si d|ab, alors il existe k, nombre premier, tel que k|ab (k étant dans la décomposition en facteur premier de d (si d premier, d=k)). Ainsi, k|ab et k|a+b
Propriété du cours: si k premier et k|ab alors k|a ou k|b
premier cas: k|a
k|a et k|a+b, donc k divise toute combinaison linéaire de a+b et a, entre autre k|a+b-a, k|b. Dans ce cas, k|a et k|b ce qui est absurde car a et b premier entre eux.
second cas: k|b
k|b et k|a+b, donc k divise toute combinaison linéaire de a+b et b, entre autre k|a+b-b, k|a. Dans ce cas, k|a et k|b ce qui est absurde car a et b premier entre eux.
conclusion: Il n'existe pas de d tel que d|a+b et d|ab donc ab et a+b sont premiers entre eux.
1.b
Troisième solution :
x et y premiers entre eux.
Alors il existe u et v tels que x.u + y.v = 1
Du coup (x.u + y.v)² = 1²
Or (x.u + y.v)² se réécrit avec un peu d'astuce en (x+y)(x.u² + y.v²) - x.y.(u-v)² qui est de la forme (x+y).U + x.y.V
On a ainsi exhibé une relation de Bezout entre x+y ett x.y, qui sont donc premiers entre eux.
Bonsoir,
Tout d'abord merci beaucoup de toutes ces réponses !!!
Mais, dans ta première proposition à la 1.a, je ne comprends pas comment tu passes de ( - ) y à ' y ?
Sinon, pour la 1.B et la 1.c, c'est bon, je crois que j'ai compris
J'ai toujours du mal avec les démonstrations, je ne sais jamais par où commencer...
Pour la question 3, pourquoi seulement 7x12 semble-t-il convenir et comment arrives-tu à cette déduction ?
Pour la 4, je ne vois pas comment je peux aller plus loin. Comment est-ce que je pourrais arriver à (xy) + ( x + y) = 84 avec x et y premiers entre eux ?
P.S : pour la 1.b, il est vrai que la première solution semble la plus simple. La seconde solution est un peu dépassée puisque nous avons vu les diviseurs il y a un moment déjà. Par contre, la troisième solution est pile dans mes cordes, nous venions d'étudier le théorème de Bézout que la prof a l'air d'a-do-rer quand elle nous a donnée cet exercice, un peu méchant je dois dire, à faire en une semaine, quand on doit se débrouiller tout seul
Merci encore de tes réponses et j'espère que tu pourras me répondre avant demain
Mais, dans ta première proposition à la 1.a, je ne comprends pas comment tu passes de (
- ) y à ' y ?J'ai juste appelé
' le nombre -...il n'y a rien à comprendre là dessous. J'aurais très bien pu ne pas le faire et laisser -.
Pour la question 3, pourquoi seulement 7x12 semble-t-il convenir et comment arrives-tu à cette déduction ?
L'intuition...un peu...mais j'ai aussi raisonné comme cela.
Le plus grand nombre est le produit xy et donc le plus petit x+y et là au premier coup d'oeil on voit bien que la solution unique est x=3 et y=4 ou l'inverse.
4. J'ai effectivement remplacé a et b par dx et dy et je trouve :
{ dx + dy = 84
{ dx * dy = d3 soit xy = d.
Mais je ne vois absolument pas comment faire ensuite avec ce que j'ai. A quoi ça me sert de savoir que x et y sont premiers entre eux, à part que PGCD ( x ; y ) = 1 ? En plus, je ne vois pas comment utiliser ce PGCD.
Ben tu as déjà fait tout le travail...en effet de dx+dy=84 et xy=d tu obtiens d(x+y)=84 et xy=d donc (xy)(x+y)=84
Autrement dit tu dois trouver deux nombres x et y premiers entre_eux tels que SP=84 ( S=x+y et P=xy ).
Et bien on a justement répondu à cela à la question 3...on trouve x=3 avec y=4 et x=4 avec y=3. Donc les nombres a et b sont a=3
12=36 avec b=412=48 et l'inverse.P.S : pour la 1.b, il est vrai que la première solution semble la plus simple. La seconde solution est un peu dépassée puisque nous avons vu les diviseurs il y a un moment déjà. Par contre, la troisième solution est pile dans mes cordes, nous venions d'étudier le théorème de Bézout que la prof a l'air d'a-do-rer quand elle nous a donnée cet exercice, un peu méchant je dois dire, à faire en une semaine, quand on doit se débrouiller tout seul
Ah mais la première solution utilise aussi une relation de Bezout...puisqu'à la fin tu arrive à écrire US+VP=1 et en plus tu utilises vraiment la 1.a, ce qui n'est pas le cas dans la troisième solution.
Moi je dis ça....mais tu fais comme tu veux ...hein !!!
Oups non il reste un petit point obscur : " Tu développes et tu réarranges pour réécrire : aS + bP = 1
Désolé de te faire mâcher le travail si je puis dire, mais je n'ai vraiment pas compris en fait
moi quand je développes je trouve : aa'S2+b'xaS+bxa'S+bb'x2=1
C'est un peu tiré par les cheveux et je ne vois pas à quoi ça peut me servir.
Remarque je me suis planté, j'ai développé (aS+bx)(a'S+b'x) alors que c'est (aS+bx)(a'S+b'y)=1.
J'ai développé la bonne expression cette fois, et je trouve aa'S2+ab'Sy+a'bSx+bb'xy=1
Mais enfin j'ai toujours le même problème
Bon si tu choisis la première solution.
aS+bx=1 car S et x premiers entre-eux.
a'S+b'y=1 idem.
On multiplie membre à membre :
(aS+bx)(a'S+b'y)=1
Tu développes tu réarrange pour écrire :
AS+BP=1.
ça c'est bien une identité de Bezout de la forme US+VP=1 qui prouve que S et P sont premiers entre-eux...non ?
Aaaaah bah oui
Le truc qu'il me manquait c'est que j'avais juste pas vu que je pouvais remplacer xy par P 
Désolé
Eh bien merci pour tout, mon problème est résolu. Sur la fin j'aurais peut-être dû aller me coucher, je n'ai servi à rien ^^ Bonne nuit, d'ailleurs. C'est que j'ai cours moi demain
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