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nombres premiers, polynôme

Posté par
doudi 26-12-15 à 13:18

Salut à tous!

j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour le factorisation , l'enonce de l'exo est le suivant:

"Quels sont les entiers naturels n pour lesquels  n4-12n²+16 est premier?"

Donc je pense savoir comment resoudre ce probleme mais j'ai bcp de mal avec la factorisation de l'expression....les identités remarquables que l'on connaît au lycee ne m'ont pas aidée.... En fait la réponse que je dois trouver est (n²-2n-4)(n²+2n-4) . Mais je ne comprends pas comment on est supposé trouver cela?!

Je suis partie d'une expression proche pouvant eventuellement etre une piste, j'ai fait:

n4-8n²+16
=(n²-4)²
=(n²-4)(n²-4)

Voila ....merci d'avance pour votre aide!

Posté par
GreenTre : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:24

Bonjour ;

n²-4  peut encore se factoriser en (n-2)(n+2)

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:26

d'accord mais je ne vois pas ou tu veux en venir... :s

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:27

Bonjour,

n^4-12n^2+16=(n^2-2n-4)(n^2+2n-4)

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:30

merci mais il n'y a aucun raisonnement ou calculs à faire pour trouver cette factorisation?

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:32

Ah, je viens de m' apercevoir que c' était écrit dans l' énoncé!

n^4-12n^2+16=n^4-8n^2+16-4n^2=(n^2-4)^2-4n^2=(n^2-2n+4)(n^2+2n+4) \\ \\

Mais on pouvait aussi développer le second membre puisqu' il était donné.

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:35

Une erreur:


n^4-12n^2+16=n^4-8n^2+16-4n^2=(n^2-4)^2-4n^2=(n^2-2n-4)(n^2+2n-4) \\ \\

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:36

ok! merci ! je pense pouvoir trouver le suite du coup!

Posté par
GreenTre : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 13:37

Citation :
n4-8n²+16
=(n²-4)²
=(n²-4)(n²-4)

Ta méthode marchait aussi :

n^4 - 8n^2 + 16 = (n^2-4)^2 = (n-2)^2(n+2)^2

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:15

finalement j'ai du mal aussi pour la suite...j'ai voulu resoudre

(n²-2n-4)2 et (n²+2n-4)2 pour voir si on a un nombre premier ou non.... J'ai trouvé (apres avoir fait delta etc) n1=1+7   n2=1-7 a chaque fois... Je ne sais pas trop si c'est pertinent ou non...je ne sais pas comment faire pour resoudre l'exercice en fait

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:22

bon et en plus n normalement , or il y a des ds mes solutions...donc la il y a une incohérence....

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:29

Les deux facteurs du second degré n' ont pas de racines entières.

Les seules possibilités pour que n^4-12n^2+16 soit premier sont donc que soit:

n^2-2n-4=1 ou n^2-2n-4=-1  n^2+2n-4=1 ou  n^2+2n-4=-1

On tombe sur n=1 et n=3 (en solution d' entiers naturels) qui donnent respectivement 5 et -11

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:35

si je comprends bien on fait comme si il n'y avait pas 7 et on garde le 1 ?
mais pourquoi on étudie le cas ou 1 est negatif aussi?

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:37

nan en fait j'ai pas compris.... pourquoi on fait =1 ?

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:45

on n'utilise pas delta....?

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:48

A=(n^2-2n-4)(n^2+2n-4)

A est premier si et seulement si un des deux facteurs vaut -1 ou 1

Non?

D' où les 4 équations à résoudre (en entiers naturels) au dessus.
On ne retient que les solutions en entiers naturels. On élimine les autres.

Posté par
doudire : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:53

d'accord merci beaucoup!

Posté par
lakere : nombres premiers, polynôme 26-12-15 à 16:53

De rien doudi


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