Non ! Seuls 3,7,31,et 127 sont premiers..

Bonjour

Tiens, 15, 63, 255, 511, 1023 sont premiers?

mais comment vous savez? quelle méthode utilisez-vous?

On lit la définition!

Il ya des critères de divisibilité par 3, par 5, par 9.. Pour le reste il faut essayer ... Et puis il y a des listes de nombres premiers sur le net.

Bonjour,

et on connait un minimum ses tables de multiplication et les critères de divisibilité par 2, 3 et 5 (appris depuis l'école primaire ou presque) et, si on le connait, le critère de divisibilité par 11.

15 = 3 fois 5 donc 15 n'est pas premier
63 = 9 fois 7 non plus etc ...
255 est "visiblement" divisible par 5 (critère)
511 est "un peu plus délicat" mais divisible par 7 "en essayant" : 511 = 7 fois 73
1023 est divisible par 3 (critère)

pour des nombres comme 2047 voire plus grand, c'est "moins évident", 2047 = 23×89
il n'y a pas franchement d'autre méthode à ce niveau que "d'essayer les diviseurs" (les diviseurs premiers suffit) jusqu'à 2047 = 45,
donc on essaye :
7 (2, 3, 5 = critères, on n'essaye pas, on teste le critère), 11 (critère, moins connu), 13, 17, 23 bingo.

si on ne "connait" pas la liste des nombres premiers jusqu'à (valeur au choix selon les individus) on essaye "sauvagement" 2 et les nombres impairs

ça y est j'ai fait les calculs et j'ai trouvé pareil, 3,7,31 et 127

pour la question 3), celle de Louise est invalide non? on a un contre-exemple ici : 11 est premier et pourtant M(11) ne l'est pas

Gagné !!!

comment puis-je faire pour la 4)a?

parce que 2^dk-1 = 2ⁿ-1 avec n=dk,mais je ne vois pas comment avancer avec ça...

on a :
2^dk-1=(1+2d+(2d)2+....+(2^d[)[sup]k-1/sup])(M_n), comment puis-je continuer?

salade de pataquès d'exposants illisible et vraisemblablement faux en plus (ce (M_n) à la fin n'a rigoureusement rien à faire là)

2^dk-1 =(1+2d+(2d)²+....+(2d)^k-1)

cela veut dire que si n est composé (n = dk) alors M_n = 2^dk - 1 = ...
est le produit de ces deux facteurs là
il suffit juste de justifier pourquoi et sous quelle condition ces facteurs sont différents de 1

écrire "n = kd est composé" présuppose que n et d sont strictement >1 (1 fois d ne caractériserait pas n comme nombre composé)

Donc on aurait Mn=2^d-1 et l'autre facteur serait (1+2^d+(2^d)²+....+(2^d)^k-1)

si on prend le cas où 2^d-1 = 1.
2^d-1 = 1
2^d = 0 mais c'est pas possible!

Non
est par définition , et si n = kd, alors

point barre.

et ce M_n est alors le produit des deux facteurs :



et





M_n n'est égal ni à l'un ni à l'autre il est égal au produit des deux

et si chacun des deux est strictement supérieur à 1 alors M_n est composé

c'est ça qu'on veut démontrer :
si n est composé alors M_n est composé
le justifier soigneusement que n est composé aucun des deux facteurs ci-dessus n'est égal à 1

on aura alors démontré exactement ce qu'on voulait :

si M_n est premier alors n est premier

(logiquement, A B est rigoureusement équivalent à non B non A)


toi tu cherches à démontrer qu'ils sont égaux à 1, ça n'aboutira à rien du tout
De toute façon :

Bonsoir! d'accord, mais par quel moyen on démontre que Mn est strictement supérieur à 1?

toute la question 4) est pour démontrer que si n est composé alors Mn l'est aussi??

mais il y a quelque chose de bizarre... ici on a d=1, alors que dans  l'énoncé il est dit que d>=2, donc ce n'est pas possible!!!

merci d'avoir corrigé mon énormité

A la question 4)a. pour la démonstration, c'est juste si on utilise la formule :
S = premier terme (q^{nb de termes}-1) / (q-1) ?

Si c'est le cas, on a :
S = 1 (q^{(2^d)k-1}) / (q-1)
S = (q^{(2^d)k-1}) / (q-1)

Je ne sais pas si ce que je fais est juste, pouvez-vous m'apporter une aide svp?

d'accord, donc on a 2^d - 1 3 si d2 alors?

Mn = 2ⁿ-1 = (1+2^d+(2^d)²+....+(2^d)^k-1)( 2^d-1)
et si (1+2^d+(2^d)²+....+(2^d)^k-1 et 2^d-1 sont supérieurs à 2, alors Mn est composé

oui.

mais il vaut mieux dire les implications dans le sens logique que de construire ses phrases à l'envers

n est composé, donc il existe d et k tous deux 2 tels que n = dk, donc 2^d - 1 3, etc

que de suggérer des implications "à l'envers" en écrivant 2^d - 1 3 si d 2

on ne cherche pas à avoir 2^d - 1 3, et pour cela en cherchant d

c'est tout le contraire
on part de d "connu" (et 2) et tiens donc on en déduit que 2^d - 1 est 3

bon, dans cette partie là ce n'est pas trop catastrophique puisque il s'agit en fait d'une équivalence
2^d - 1 3 d2

mais distordre ainsi l'enchainement logique est préjudiciable à la compréhension de la démonstration dans son ensemble.

je crois que je suis un peu perdue

Si on reprend, on doit démontrer que si n est composé alors Mn est composé.

je viens de voir votre post de 19:30, mais ça revient un peu au même que ce que j'ai fait post 19:31 non?

c'ets bien ça

le plan de la démo est bien :

soit n composé,
alors il existe d 2 et k 2 tels que n = dk
donc M_n = 2ⁿ - 1 = 2^dk - 1 = (1+2^d + (2^d)² + ... + (2^d)^k-1)(2^d - 1)
or d 2 (2d - 1) 3
et k 2 (1+2^d + (2^d)² + ... + (2^d)^k-1) 1 + 2^d (k-1 est 1 donc ce terme 2^d existe dans la somme)
ces deux facteurs là de M_n étant donc tous deux strictement > 1,
donc M_n est composé

oui, il y a des posts croisés, on dit la même chose

mon post de 19h30 était pour "m'insurger" (gentiment) sur la formulation de la phrase
(dans toute phrase il y a des non dits)

Citation :
d'accord, donc on a 2^d - 1 3 si d2 alors?

c'est une toute autre méthode, on l'avait encore jamais faite, j'ai eu un peu de mal, merci de m'avoir débloquée!!
du coup la démonstration est valide pour toute la question 4 non? la b reprend un peu la a, il me reste que la c, qu'on a aussi démontré, mais à la place de Mn est premier alors n est premier on a pris n est composé alors M, est composé, c'est juste?

la démonstration résumée ici c'est l'ensemble de la question 4
(petit bouts par petit bouts au fur et à mesure des questions)

la "contraposée" est un résultat de logique, mais de nos jours (depuis le moyen age en fait) on n'enseigne plus la logique avant les mathématiques mais après (quand on parle d'algèbre de Boole, de disjonction / réunion d'ensembles etc), ce qui est un peu un non sens, mébon ...
la logique est "enseignée" "comme ça", au détour d'une phrase ou d'un exo, sans le dire ...
on parle de théorème et de réciproque sans vraiment justifier du sens de ces mots, "réciproque".
ne parlons même pas de "contraposée"
le plus souvent confondu avec une réciproque, mais certains puristes insistent en parlant de la contraposée de Pythagore ou de Thalès

théorème de Pythagore :
si un triangle est rectangle alors a² + b² = c²

réciproque :
si a² + b² = c² alors le triangle est rectangle

contraposée :
si a² est différent de b² + c² alors le triangle n'est pas rectangle

la réciproque d'un théorème n'est pas toujours vraie (elle est vraie pour Pythagore)
la contraposée par contre est toujours exactement la même chose (est rigoureusement équivalente) au théorème direct

c'est ce qu'on utilise ici

"si Mn est premier alors n est premier"
est absolument la même chose que de dire
"si n est composé (n'est pas premier) alors Mn est composé (n'est pas premier)"

en fait on n'insiste pas trop là dessus parce que c'est supposé être "logiquement évident" que c'est la même chose (= simplement de comprendre ce que veut dire la phrase, de comprendre ce que veut dire en français "si .. alors ..")

pour préciser les "petits bouts"

4a) aucun rapport avec l'exo en soi, on démontre une identité remarquable valable "en général", qu'on utilisera par la suite

4b) utiliser cette identité là, en l'appliquant au problème pour montrer que si n est composé, alors 2^d - 1 est un facteur de M_n et que ce facteur est 1

4c) conclusion formelle
c'est là qu'on traduit la 4b en termes de "Mn est composé"
puis qu'on effectue la transposition de ce qu'on vient de démontrer (que si n est composé alors Mn est composé)
en la conjecture de Marc (si Mn est premier alors n est premier) en justifiant que c'est "la même chose"
(vu l'état de l'enseignement de la logique, le dire "c'est la même chose" suffit)

pour être complet il est tout de même nécessaire de justifier que l'autre facteur est lui aussi > 1 (ou que 2^d - 1 est strictement < M_n, mais à mon avis c'est plus dur comme ça)
qui se fait dans la 4b, bien que ce ne soit pas explicitement demandé.