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Non constructibilité de pi
Bonjour 
Le fait que pi soit transcendant suffit pour montrer l'impossibilité de la quadrature du cercle.
Mais en fait la transcendance est suffisante mais pas nécessaire, si x est un nombre algébrique de degré qui n'est pas une puissance de 2, il ne sera pas constructible.
Ma question est : Est-il possible de démontrer que pi ne peut pas être racine d'un polynôme de degré une puissance de deux, de façon substantiellement plus simple que d'en montrer la transcendance, où est-ce qu'il n'y a aucune simplification qui pourrait apparaître?
Merci d'avance
Fractal 
Bonjour
Ce que Fractal veut dire, c'est qu'il y a des nombres algébriques non constructibles, et il se demande si ce ne serait pas plus facile de prouver la non constructibilité que la transcendence pour 
.
A ma connaissance, NON!
OUi mais etre conctructible est plus faible qu'etre algébrique.
On démontre facilement qu'un nombre est constructible ssi il est dans un extension K de Q.
Tel qu'il existe une tour de corps K=Kn/.../K1=Q avec [Ki:K(i-1)]=2
Autrement x est un nombre de degré 2^n sur Q.
En fait on peut montrer de manière plus simple que (pi)^2 est irrationnel, résultat de Lambert (si je me souviens bien) ce qui est une première étape. Mais ensuite efectivement je ne connais rien de plus simple.
Bonsoir,
A ma connaissance, il n'existe pas de preuve directe de la non-constructibilité de (i.e. sans en démontrer la transcendance).
Mais une telle preuve ne demande qu'à être trouvée
Cordialement
Frenicle
Je signale que la quadrature du cercle se trouve déjà dans le papyrus de Rhind (-1600 ) dont l'auteur précise que la plupart des problèmes cités dedans étaient connus des babylonnien (-2000 ) . Comme la non constructibilité vient du théorème de Lindemann (pi transcendant 1883) ça nous fait au moins 3400 ans pour ce problème.....certainement la plus vieille conjecture solutionnée de l'histoire de l'humanité .
(les 350 ans de Fermat à coté c'est de la rigolade)
En fait on peut montrer de manière plus simple que (pi)^2 est irrationnel
Oui mais puisque pi est transcendant, on sait tout simplement que pi^n est irrationnel, non?
Schumi : la question initiale du post est la non constructibilité SANS transcendance. Pour la non constructibilité il suffit de prouver que PI n'est pas algébrique de degré 2^n pour tout n . Je disais donc que si n =1 c'était faisable....
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