Niveau Licence Maths 1e ann

Normes et conditionnement

Posté par
Ennydra 20-11-17 à 15:26

Bonjour,

Soit $\nu$ une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$ .
Soit $\sigma(n) = \max_{(A,B) \in \mathcal{S}} \nu(AB)$ et $\mathcal{S} = \{(A,B) \in \mathcal{M}_n(\R) * \mathcal{M}_n(\R), \nu(A) =1, \nu(B) = 1 \}$ .

On a vu que $A \rightarrow |||A||| = \sigma(n) \nu(A)$ définissait une norme matricielle (et j'ai compris pourquoi).

Ensuite, on nous demande de montrer que si $\lambda < \sigma(n)$ , alors $A \rightarrow \lambda \nu(A)$ n'est pas une norme matricielle. J'ai compris également !

Soit $\nu^*$ l'application de $\mathcal{M}_n(\R)$ à valeurs dans $\R$ définie par : pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ :
$\nu^*(A) = \max_{i=1,...,n,j=1,...,n} |a_{ij}|$ .
On a aussi : $\sigma^*(n) = \max_{A,B:\nu^*(A)=\nu^*(B)=1} \nu^*(AB)$ et $||A||_* = \sigma^*(n) \nu^*(A)$ une norme matricielle.

On me demande de calculer le nombre de conditionnement de la matrice :

$M = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ associé à la norme $||.||_*$ .

J'ai d'abord calculé $M^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Mais je ne comprends pas ensuite comment faire... $||M||_* = \sigma^*(2) \nu^*(M) = \sigma^*(2) * 2$ . Je ne vois vraiment pas comment remplacer $\sigma^*(2)$ malgré la définition. Je maîtrise encore très mal les normes...

Quelqu'un pourrait m'aider ? Je lui en serais infiniment reconnaissante !

Bonne journée...

Posté par re : Normes et conditionnement 20-11-17 à 17:39

up par ici

Posté par re : Normes et conditionnement 21-11-17 à 10:14

Bonjour Ennydra.

Pour calculer $\sigma^*(2)$ , tu constates que si tu fais le produit de deux matrices de norme 1 (pour $\nu^*$ ) tu vois que chaque coefficient est de la forme $a_1a_2+a_3a_4$ avec $|a_i| \leq 1$ .
Il s'ensuit que $\sigma^*(2) \leq |a_1|.|a_2|+|a_3|.|a_4| \leq 2$ .
Ensuite, en prenant la matrice A telle que $a_{i,j}=1$ on voit en faisant A.A, que $\sigma^*(2)=2$ .

Tu as donc $||M||_* = 2.2=4$ et $||M^{-1}||_* = 2.2/3=4/3$ d'où $\kappa(M)=16/3$

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