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Notion de logique
Bonsoir aide svp
x;y;z appartiennent à R tel que
xy+yz+xz=3 et x+y+z=5
Monter que
-1<z<13/3
bonsoir
on n'est pas là pour répondre aux questions mais pour fournir des pistes , aider et corriger les erreurs !
J'ai deja fais quelque calcul et je suis arrivé que x^2+y^2+z^2=19
Mais je vois pas comment ca maidera a trouver un encadrement de z
dans l'espace on est à l'intersection d'une sphère et d'un plan... mais on est au-delà du programme de première je pense
Pardon mais j'ai vraiment rien compris a ce que vous venez de dire
Je voudrais juste un indice qui me permettera d'arriver a un encadrement
bon procédons autrement ... mais cela reste velu quand même et je pense qu'il y a plus simple...
la 2eme équation te permet d'exprimer x en fonction de y
en remplaçant dans la première tu obtiens une équation du second degré en y avec des coefficients qui dépendent de z
comme il doit exister des solutions, tu en déduis que le discriminant (qui dépend de z) est positif ou nul
cela te donne une inéquation du second degré en z
et quand tu la résous tu obtiens le résultat
à toi de jouer !
x^2 + y^2 + z^2 = 19 conduit à l'encadrement |x| =< 
19
mais ce n'est pas suffisant ...
matheuxmatou a proposé alors une autre piste ...
Bonjour,
Si l'on suit l'indication de matheuxmatou 04-10-18, 23:10, z atteint ses valeurs extrêmes dans le plan x=y.
Par élimination de x, entre 2x+z=5 et 2x^2+z^2=19, on obtient une équation du second degré en z, dont les racines sont précisément -1 et 13/3.
Mais ce n'est effectivement pas du niveau première...
Bonjour à tous,
> larrech
C'est certes un exercice qui n'est pas facile mais je ne vois pas en quoi il n'est pas du "niveau" première (on n'est pas du tout obligé de parler de plan, matheuxmatou a bien expliqué sa démarche). Tout dépend de ce qu'on appelle "niveau" ; les connaissances de première suffisent pour conclure (mais oui ce n'est pas du tout immédiat).
->littleguy Je me trompe peut-être, mais je parlais de la démarche qui consiste à raisonner en termes d'intersection sphère-plan.
Bonjour,
Comme la solution pour z est symétrique en x et y, je propose de changer
X=x+y
Y=x-y
Et résoudre le système en X et z pour Y=0. Simple.
Salutations larrech,
Je n'avais pas lu votre intervention de 16:43, et c'est bien la démarche de matheuxmathou qui permet l'encadrement...
on cherche donc deux réels de somme et de produit
...
Enigme de Maths
Bonjour,
Si l'on suit l'indication de matheuxmatou 04-10-18, 23:10, z atteint ses valeurs extrêmes dans le plan x=y.
Par élimination de x, entre 2x+z=5 et 2x^2+z^2=19, on obtient une équation du second degré en z, dont les racines sont précisément -1 et 13/3
oui, c'est la solution la plus élégante que j'avais trouvée
Bonjour,
Comme la solution pour z est symétrique en x et y, je propose de changer
X=x+y
Y=x-y
Et résoudre le système en X et z pour Y=0. Simple.
oui, j'y avais pensé aussi mais je n'ai pas osé proposer ce changement au niveau première... cela rejoint l'idée de l'intersection sphère/plan
Bonsoir, j'ai tenté la méthode de Matheuxmatou mais je ne suis pas arrivé aux résultats attendus. Où me suis-je trompé s'il vous plait ?
(xy+yz+xz) = 3 (x + y + z) = 5
x = (5 - y - z)
((5 - y - z)y + yz + (5 - y - z)z) = 3
((5 - y - z)y+yz+(5 - y - z)z) = 5y - yy - zy + yz + 5z - yz - zz = 5y - yy + 5z - yz - zz = 3
(-1) y^2 + (5 - z) y + (5z - 3) = 0
Pour que cela soit possible il faut que le discriminant soit >= 0, cad:
(5 - z)^2 - 4 (-1)(5z - 3) = 25 - 10z + z^2 + 20z - 12 = z^2 + 10z + 13 >= 0
Discriminant: 10^2 - 4(1)(13) = 48
Racines: (-10 - 48^(1/2) ) / 2 = -8,46 (-10 + 48^(1/2) ) / 2 = -3,07
on cherche donc deux réels de somme
Enigme de MathsBonsoir, j'ai tenté la méthode de Matheuxmatou mais je ne suis pas arrivé aux résultats attendus. Où me suis-je trompé s'il vous plait ?
(xy+yz+xz) = 3 (x + y + z) = 5
x = (5 - y - z)
((5 - y - z)y + yz + (5 - y - z)z) = 3
((5 - y - z)y+yz+(5 - y - z)z) = 5y - yy - zy + yz + 5z - yz - zz = 5y - yy + 5z - yz - zz = 3
(-1) y^2 + (5 - z) y + (-z²+5z - 3) = 0
tu as oublié un terme constant en y
on cherche donc deux réels de somme
donc :
Bonsoir, j'ai tenté la méthode de Matheuxmatou mais je ne suis pas arrivé aux résultats attendus. Où me suis-je trompé s'il vous plait ?
(xy+yz+xz) = 3 (x + y + z) = 5
x = (5 - y - z)
((5 - y - z)y + yz + (5 - y - z)z) = 3
((5 - y - z)y+yz+(5 - y - z)z) = 5y - yy - zy + yz + 5z - yz - zz = 5y - yy + 5z - yz - zz = 3
(-1) y^2 + (5 - z) y + (-z²+5z - 3) = 0
tu as oublié un terme constant en y
Ah oui merci, mais du coup j'arrive là:
Discriminant:
(5 - z)^2 - 4 (-1)(5z - 3 - z^2) = 25 - 10z + z^2 + 20z - 12 - z^2= 10z + 13 >= 0
et donc z >= 13/10, ce qui ne correspond toujours pas à ce que je devrais obtenir.
Razes : je ne comprends pas d'où vient la relation que tu ajoutes et comment tu fais apparaître x - y
on cherche donc deux réels de somme
Enigme de MathsBravo, par contre j'aimerais bien avoir l'explication de la chose suivante:
3z^2 - 10z - 13 < 0
= (-10)^2 - 4(3)(-13) = 256
racines: z = -1 z = (10 + 256^(1/2))/ 6 = (10 + (16*16)^(1/2))/ 6 = 26 / 6 = 13/3
Ici avec le calcul du discriminant ça marche.
Par contre, quand vous multipliez l'inéquation par 3 juste après, les racines changent (je trouve ça étrange):
9z^2 - 30z - 39 < 0
= -10^2 - 4 (9)( - 39 ) = 100 + 1404 = 1504
racines: z = -0,39 z = 3.82
mais après développement comme vous l'avez fait on retrouve les bonnes racines.
Bouboux
encore faut-il calculer le discriminant correctement !
déjà dans le premier c'est (-10)² et non -10²
et dans le deuxième (-30)²
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