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Notion de module libre.
Bonjour à tous, 
J'arrive pas à comprendre cette définition. Quelqu'un peut-il m'éclairer?
Soit
On dit qu'un
C'est quoi le rapport avec la liberté?
Il y a un rapport avec la notion de liberté en algèbre linéaire ou ce sont des concepts qui n'ont rien à voir (j'en doute fort: on aurait pas donné le même nom sinon).
Et puis, dans un élan de générosité, l'auteur tente de faire comprendre ce concept:
Par exemple, l'existence d'une base pour tout espace vectoriel assure que tout k-module est libre
si k est un corps. C'est faux dans le cas général.
Une idée? Je suis perdu...
5 you.
Ayoub.
Ben c'est équivalent de dire qu'il admet une base (d'où le rapport avec la liberté).
Si M admet une base e1,.., en (cas fini pour simplifier l'écriture) alors
M = A e1+...+Aen isomorphe à Ax...xA . Réciproquement si M isomorphe à Ax..xA par un isomorpshisme f alors f-1(1,0,.,0) ...f-1(0,..,0,1) est une base.
et il y a des modules sans base par exemple Z/2Z n'est pas un Z module libre car quand on multiplie par 2 ça fait 0 .
Salut lolo,
Ok je vois. Donc en fait, cette définition s'écrit avec une "existence" et non avec un "pour tout" si j'ai bien compris.
et il y a des modules sans base par exemple Z/2Z n'est pas un Z module libre car quand on multiplie par 2 ça fait 0 .
Tiens ben justement, il y a un exo d'application juste après:
Soit n un entier > 1. Montrer que Z/nZ n'est pas libre. Montrer que généralement que si tout A-module est libre alors A est un corps.
La 1ère question, j'aurai tendance à dire que Z/nZ ne peut pas être isomorphe à un Z^m (avec m€N*) car Z/nZ est fini alors Z (et a fortiori Z^m) sont infini.
Juste?
Ayoub.
Bonjour
Ca dépend sur quel anneau on se place, Z/nZ est un Z/nZ-module libre! 
Si c'est sur Z ton argument est bon.
Salut Greg,
L'auteur ne le précise pas, mais je pense qu'il fait effectivement allusion au Z-module Z/nZ parce que sinon comme tu dis:
Pour la deuxième question, soit A un anneau qui n'est pas un corps, il existe a dans A non inversible.
Alors l'idéal (a) engendré par A est non trivial et A/(a) est un ensemble qui peut être vu comme un A-module.
A/(a) n'est pas isomorphe à A car (a) n'est pas trivial, reste à se convaincre qu'il n'est pas isomorphe à une puissance de A.
Est ce que je peux faire comme ça aussi?
A un anneau qui n'est pas un corps. Il existe un non inversible "a". Comme (a) est propre il est inclus dans un idéal maximal I. (J'adooooooore l'axiome de choix ).
Alors A/I est un A-module qui est aussi un corps.
Il ne peut être isomorphe à une puissance A parce que sinon on aurait un corps isomorphe à un anneau qui n'est pas un corps...
Juste?
L'argument me paraît faux, il faut toujours faire attention à bien cerner de quelle structure on parle quand on prononce le mot "isomorphe".Ici on se demande si pour la structure de A-module A/I est isomorphe à une puissance de A.
La structure multiplicative n'intervient pas à priori.(Ou si elle intervient de façon décisive, c'est pour d'autres raisons)
Sinon pour en revenir à ce que je proposais, si An était isomorphe à A/(a) pour un certain n strictement positif, A/(a) admettrait un sous-module propre isomorphe à A.Or les sous-modules de A/(a) sont les modules de type B/(a) avec B sous-anneau de A contenant (a).
La composée de l'isomorphisme entre B/(a) et A avec la surjection canonique de B dans B/(a) fournirait une surjection
B->B/(a)->A.
Cela contredit le fait que B est strictement inclus dans A.
A vérifier bien sûr
Tigweg
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