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nouvelle notion de convergence uniforme

Posté par
romu 12-02-08 à 22:54

Bonsoir,

en analyse hilbertienne, on nous présente une nouvelle norme:

Soient (E,||.||_E) et (F,||.||_F) deux espace vectoriels normés.

On considère l'ensemble \mathcal{L}(E,F) des applications linéaires continues de E dans F.

On construit une norme de "convergence uniforme" sur \mathcal{L}(E,F):

||.||_{\mathcal{L}} :\ \mathcal{L}(E,F) \longrightarrow \mathbb{R}_+ telle que pour toute f\in \mathcal{L}(E,F),

4$||f||_{\mathcal{L}} = \sup_{||x||_E\leq 1} ||f(x)||_F.

quel est le lien avec la norme de convergence uniforme:

4$||f||_{\infty} = \sup_{x\in E} ||f(x)||_F

Sont-elles égales? Donnent-elles la même topologie? ...


Merci pour vos réponses.

Posté par
romure : nouvelle notion de convergence uniforme 12-02-08 à 22:57

enfin non, il est clair qu'elles ne sont pas égales, mais elles sont peut être équivalentes.

Posté par
Ksilverre : nouvelle notion de convergence uniforme 12-02-08 à 23:09

Salut !

euh tu connais beaucoup d'application lineaire borné toi ?

la norme que tu propose : sup pour x dans E de ||f(x)|| n'est pas définit des que f est non nul : une application lineaire non nul est forcement non borné...


donc ta question n'as pas vraiment de sens...

Posté par
romure : nouvelle notion de convergence uniforme 12-02-08 à 23:21

salut Ksilver,

oui c'est vrai j'ai pensé après coup que cette norme n'est pas bien défini.

Merci Ksilver.

Posté par
romure : nouvelle notion de convergence uniforme 13-02-08 à 10:09

Si je suppose que F est complet, et que je prends une suite de Cauchy (u_n)_n d'éléments de \mathcal{L}(E,F).

On pose pour tout x\in E, u(x):=\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n(x).

On vérifie ensuite que u\in \mathcal{L}(E,F).

Comme (u_n) est de Cauchy suivant \mathcal{L}, il existe N\in \mathbb{N} tel que

m>n\qquad \Longrightarrow \qquad ||u_n - u_m||_{\mathcal{L}} \leq \varepsilon



Mais après je ne vois pas pourquoi on aurait pour tout x\in B[0_E,1]:


4$\lim_{m\rightarrow +\infty} ||u_n(x)-u_m(x)||_F = ||u_n(x) - (\lim_{m\rightarrow +\infty} u_m(x))||_F

Posté par
romure : nouvelle notion de convergence uniforme 13-02-08 à 10:18

ah si c'est bon en fait avec la double inégalité triangulaire.


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