salut

il est évident que si A = B alors Tr (A) = Tr (B)

donc M = - Tr (M) I => Tr (M)= -n Tr (M) => Tr( M) = 0

On a donc ker(f)ker(Tr)
En écrivant le système lié à M=-Tr(M)I, je trouve que tous les coefficients de M sont nuls

Bonjour
quel besoin d'écrire un système ? tu as M = -Tr(M)I et Tr(M) = 0 donc M = -0*I = matrice nulle, non ?

Oui tout à fait
J'ai fini l'exercice les questions étaient :
1)Mq f est un endomorphisme de Mn(C)
2)Noyau et rang de f
3)Polynôme annulateur de f de degré 2?
4)f diagonalisable? Inversible ? Application réciproque

Juste pour 3) j'ai fait f o f pour avoir un polynôme annulateur de degré 2 je trouve P(X)=(X-1)(X-(n+1)) c'est un coup de chance que les racines de ce polynômes sont des valeurs propres de f ?

tu as déjà entendu parler de polynôme minimal ? du th de Cayley ?

Oui mais la j'ai juste un polynôme annulateur de f normalement ses racines sont pas uniquement les valeurs propres de f

Bonjour,

Si P est un polynôme annulateur, les valeurs propres sont racines de P.  Il peut y avoir effectivement d'autres racines. Mais si a est une racine de P qui n'est pas valeur propre, alors le quotient de P par (X-a) est encore polynôme annulateur (vois-tu pourquoi ?).

Est-ce que cela ne te suffit pas pour voir que ton polynôme de degré 2 est bien le polynôme minimal de f ?

Bonjour
On suppose que 1 n'est pas valeur propre, on divise P par X-1, on obtient P(X)=(X-(n+1)) qui annule f
Donc f(M)=(n+1)M et ça c'est pas vrai donc 1 est valeur propre
Par contre j'ai pas vu pourquoi le quotient de P par X-a est encore un polynôme annulateur de f

Si n'est pas valeur propre de , que peux-tu dire de ?

On peut dire que
On avait qui annule f
Donc avec
Donc et est un polynôme annulateur de f

Non, ça ne va pas.

Tu fais une grosse erreur : tu penses que si on a deux endomorphisme non nuls et , alors leur composé est non nul. Ce n'est pas vrai ! Pense à un contre-exemple.

Mais si n'est pas valeur propre de , tu peux dire plus de .

avec et , f et g ne sont pas l'endomorphisme nul mais la composée gf l'est

est inversible on a on compose par et on obtient donc est un polynôme annulateur de f

OK pour ton deuxième paragraphe.

Pas OK pour le premier, puisque ni ton f ni ton g ne sont des endomorphismes de l'espace des matrices.

On peut prendre et
On a gf qui est nul

Oui, j'aime mieux ça.