Niveau autre

Noyau et image

Posté par snoopyparis (invité) 25-03-07 à 17:17

Me revoilà avec une question sur les applications linéaires !

Soit f:R[X]->R[X] défini pour tout P€R[X] par f(P)=XP'(X).

Il faut déterminer le noyau et l'image de f.
Une grande question pour moi...

Posté par re : Noyau et image 25-03-07 à 17:18

Bonjour
Le noyau est l'ensemble des polynômes P tels que f(P)=XP'=0. Est-ce si difficile de les trouver?

Pour l'image: Remarque que f(P)(0)=0.

Posté par snoopyparis (invité)re : Noyau et image 25-03-07 à 18:02

$P=a_0+a_1X+...+a_nX^n \\ XP^'=0 \Longleftrightarrow P=a_0$
J'en conclue donc que ker(f) est l'ensemble des polynomes de degré nul.
Exact ?
Mais quelle est alors la dimension de ker(f) ?

Posté par snoopyparis (invité)re : Noyau et image 25-03-07 à 20:08

dim ker(f)=1 ?

Posté par re : Noyau et image 26-03-07 à 11:18

euh
si
$P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + ... + a_n X^n$
on a
$P' = a_1+ 2 a_2 X + ... + n a_n X^{n-1}$
donc
$f(P) = XP' = a_1 X + 2 a_2 X^2 + ... + n a_n X^n$ .

On en déduit que f(P) = 0 ssi $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$
donc $P \in Ker(f)$ ssi $deg(P) < 1$ .

Dautre part la dimension du sous-espace des polynômes de degré strictement inférieur à 0 est de dimension 1, donc dim Ker(f) = 1. (sauf erreur)

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Noyau et image

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths