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Niveau seconde
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Olympiade de math 6

Posté par
FanDeMath
04-01-17 à 23:53

Bonjour à tous même principe , une question 20 encore de la géometrie avec plein de droite parallèle qui me font peur   Merci beaucoup !

l'énoncé :
Dans la figure ci-contre, les segments intérieurs au grand carré joignent un sommet au milieu d'un côté. Si l'aire du grand carré est 425 , quelle est celle du carré grisé ?

Déjà on sait que le coté du carré  vaut 5 racine de 17 , ensuite on peut supposé que les droites atteignent le milieu du côté opposé , mais bon rien n'est sûr . J'ai essayé de faire : L'aire du carré - Aire des triangles auteur de la partie grisé , mais ces triangles se superposent par endroit ce qui fait que je dois enlever des morceaux à chaque fois et ça devient horrible . Je suis bien conscient que cette manière de procédé est mauvaise , mais comment faire ? Utiliser thalès ? ça donne des valeurs bien horrible  , je ne vois pas

Merci beaucoup

Olympiade de math 6

Posté par
FanDeMath
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 00:01

Petit double post désolé mais on ne peut pas éditer En relisant l'énoncé on nous dit bien que les droites atteignent le milieu opposé , mais bon ça ne m'aide toujours pas ,

et je voulais dire autour de la parti grisé , pas auteur

Merci encore et désolé !

Posté par
Zormuche
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 01:08

Salut

J'ai peut-être une idée

Tu vois les huit polygones blancs qui ont été créés par le traçage des droites parallèles

Quatre sont des triangles, et Quatre sont des trapèzes rectangles.

Tu peux peut être remarquer que si tu associes un trapèze rectangle avec un petit triangle rectangle (par rotation d'un petit triangle), tu obtiens un carré dont l'aire est égale au carré grisé

Ce n'est peut être pas ce qu'on te demande, mais tu peux exploiter cette piste et essayer de le justifier mathématiquement

Posté par
Leile
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 01:42

bonsoir,

une autre idée : utiliser un repère.
le grand carré OAFD ==> on se place dans le repère (O, A, D),
soit C le milieu de AF, B le milieu de OD et E le milieu de FD,
exprime les equations des droites ((AB), (OE) et (DC),
puis le coordonnées des points P et M d'intersection de (OE) avec (DC) et (AB)
alors on peut calculer PM

enfin, une régle de proportionnalité donne le coefficient de réduction k  de OA vers PM
==> appliquer  k² à 425

Posté par
Zormuche
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 01:44

Salut Leile

J'y avais pensé aussi mais j'avais peur que ce soit trop lourd, ou que ça ne corresponde pas au programme de 2de

Posté par
Leile
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 01:48

une figure

Olympiade de math 6

Posté par
Leile
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 01:54

bonsoir Zormuche

Si on travaille d'abord dans le carré de côté 1, les calculs sont plutôt faciles et correspondent à ce qu'on voit en seconde (voire 3ème) (coordonnées du milieu, repérage, équation de droites, distance entre deux points, coefficient de réduction, etc..).

mais voyons ce que FanDeMath en pensera.
Je quitte : bonne nuit.

Posté par
carpediem
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 10:00

salut

1/ entourer le carré de la figure par huit autres carrés identiques

2/ prolonger les droite tracées (et éventuellement rajouter les parallèles convenables)

3/ regarder et voir

Posté par
FanDeMath
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 10:14

Merci beaucoup , vos méthodes sont vraiment jolies , et rien à voir avec ce que je voulais faire , finalement on devait même pas utilisé pythagore ,

Zormuche , je comprends ce que vous  voulez me dire , je voyais déjà un peu ça , et que les petits triangles étaient identiques , mais je ne vois pas comment travailler là dessus en fait enfin d'accord ça fait un carré ( d'ailleurs pourquoi égale à la partie grisé ? ) Ah en écrivant je pense que c'est parce que : En obtenant l'aire de ce nouveau carré et en faisant  x5 on obtient l'aire du grand carré ( 425 ) , mais en fait même pas besoin de calculer 425/5 = 85  voilà la réponse ( Je l'ai découvert en vous écrivant , mais je me base sur le fait que les carrés soient tous égaux , alors que j'en sais rien , pouvez vous m'expliquer ? Merci )

Leile je trouve votre méthode tellement jolie et très facile d'ailleurs , j'ai tout compris , mais j'ai juste peur de ne pas avoir assez de temps pour faire tout ça le jour des olympiades , sachant qu'il y a 30 questions , mais bon je réponds pas à tous de toute façon ( car je suis dans l'année inférieure , en Belgique plusieurs classe ont les même questions mais le seuil pour passer en demi final n'est pas le même ) , merci beaucoup en tout cas je vais essayer de le faire sur une feuille pour voir combien  de temps ça me prend,  merci beaucoup

Posté par
lake
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 11:15

Bonjour,

Olympiade de math 6

Posté par
carpediem
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 11:29

(presque) exactement ce que je disais ...

Posté par
FanDeMath
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 12:59

Ah ! Merci beaucoup à vous tous , j'ai compris toutes vos méthode , merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 13:43

Bonjour,

il me semble que la méthode suivante n'a pas été explicitée :
en réponse directe à "mais ces triangles se superposent par endroit"

Olympiade de math 6

ces triangles là ne se superposent pas !


le calcul de leur aire revient à calculer "des trucs" associés à la hauteur (CK) d'un triangle rectangle (DCF) dont on connait les deux côtés de l'angle droit
formule donnant la hauteur d'un triangle rectangle (elle sst suffisamment jolie pour la retenir)

1/CK² = 1/CD² + 1/CF²

formule donnant les segments déterminés par le pied de la hauteur :
DC² = DK.DF

ces formules (hors cours officiel) sont commodes à retenir avec d'autres du même genre concernant les triangles rectangles pour s'attaquer à des questions d'Olympiades
à l'époque (les années 60) il y avait tout un paquet de formules en plus de Pythagore pour les triangles rectangles dans le livre de maths de seconde ou de première (première = révisions de seconde sur ce sujet là)

de plus cette figure et ce découpage là amène "naturellement" au découpage de Zormuche/Lake qui permet de simplifier le calcul à presque rien.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 15:28

voire même sans les formules du tout :

j'appelle a le côté du carré ABCD
Pythagore dixit DF = a\dfrac{\sqrt{5}}{2}
l'aire de CDF = \dfrac{a^2}{4} (aire d'un triangle rectangle)

le triangle CDK est semblable à CDF (vu qu'ils ont leurs angles égaux, les triangles semblables sont revenus dans le programme de cours)
le rapport de réduction donnant CDK est \dfrac{DC}{DF} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}
le rapport des aires est le carré de ça c'est à dire que l'aire de CDK = \dfrac{a^2}{4}\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{a^2}{5}
comme il y a 4 triangles identiques à CDK dans ma figure, ce qui reste (le carré cherché) a donc pour aire a² - 4a²/5 = a²/5, le 1/5 de l'aire de ABCD.

Posté par
carpediem
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 16:16

carpediem @ 05-01-2017 à 10:00

salut

1/ entourer le carré de la figure par huit autres carrés identiques

2/ prolonger les droite tracées (et éventuellement rajouter les parallèles convenables)

3/ regarder et voir


carpediem @ 05-01-2017 à 11:29

(presque) exactement ce que je disais ...


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 17:18

Par la géométrie analytique, c'est quasi immédiat. (mais moins joli ?)

Olympiade de math 6

A est le point de rencontre de (CF) et de (HD)

Résoudre le système :
y=2x
y=-x/2 - a

--> A(a/5 ; 2a/5)
-----
B est le point de rencontre de (GE) et de (HD)

Résoudre le système :
y=2x-a
y=-x/2 - a

--> B(3a/5 ; a/5)
-----
AB² = (2a/5)² + (a/5)² = a²/5

Or a² = 425

--> AB² = 425/5 = 85  

L'aire du carré grisé est 85 unités de mesure d'aire.

Posté par
FanDeMath
re : Olympiade de math 6 05-01-17 à 23:32

Ah oui très beaau vos 2 méthodes , qui sont bien différentes d'ailleurs , les deux sont simples très facile à faire , même si je pense que celle de J-P est un peu plus longue , mais bon je n'ai jamais fait de géometrie analytique , donc je suis un peu lent je l'avoue :p En tout cas très belle technique à tous les deux , je sais maintenant faire ce genre d'exercice de plusieurs façon ( J'ai trouvé un exercice avec le même dessin , ou on demandait le rapport de périmètre , j'ai tout de suite trouvé grâce à vous merci ! )

Posté par
Leile
re : Olympiade de math 6 06-01-17 à 01:00

bonsoir FanDeMath,
juste un petit complément d'info : la méthode qu'a proposée  J-P est  proche de la mienne, je suppose que tu l'as vu ; J-P pose le coté du carré = a, alors que perso, je pose le coté du carré = 1.
Dans les deux cas, l'équation des droites est quasi immédiate..
C'est vrai que par rapport aux autres propositions (où les schémas sont explicites), il y a  plus de calculs !

Bonne nuit !



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