ce n'est qu'un début de réflexion

il faut des masses qui permettent de représenter un poids par des nombres entiers,
1 pour exprimer les unités
5 pour exprimer les nombres divisbles par 5
3  pour exprimer les nobres divisibles par 3
2  pour exprimer les nombres pairs
et 10 pour exprimer les plus grands nombres    

Bonjour

Je te propose un autre axe de réflexion que celui de noella2 dont je ne suis pas certain qu'il aboutisse.

pense à bien utiliser les poids sur les deux côtés de la balance.

ainsi, 2 kg peut être pesé avec une masse de 2 kg mais aussi avec 2 masses de 1 et 3 kg en positionnant (X et 1 kg) sur un plateau et (3 kg) sur l'autre plateau.
Tu peux alors identifier la masse X qui pèse 2 kg.

Je te laisse réflechir sur ce  principe et ne te fournis que la solution : 5 masses de 1 - 3 - 9 - 27 et 81 kg

soit les puissances de 3 : 3⁰ - 3¹ - 3² - 3³ - 3⁴

Vérifie...

Philoux

merci, philoux, j'ai compris, mais tu pourais expliquer comment tu as fait pour aboutir a ca?
je n'arrive pas a en deduire une méthode (histoire que cet exercice me serve au cas ou il y en aurait un du meme genre)

ca aurait pu etre, par exemple, 10 11 et 13 pour avoir 1,2,3.
et pourquoi les puissances de 3?

j'y ai réfléchi mais je ne trouve pas.

alex H

Je vais t'avouer que je l'avais cherchée il y a quelque mois (clique sur la maison : Petites énigmes pour muscler vos neurones ) et que je me souviens avoir tâtonner assez longtemps en raisonnant sur des valeurs inférieures...

Philoux

Bonjour

Voici une "explication" de la solution.


Notions de base
On choisit un entier a > 1. Tout autre entier peut s'exprimer en fonction des puissances de a.


45 peut s'écrire en fonction des puissances de 2 (c'est ce qu'on appelle l'écriture binaire).
    45 = 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰

45 peut s'écrire en fonction des puissances de 3
    45 = 3³ + 2 x 3²
Une autre décomposition (en n'utisant que des coefficients -1, 0, 1) est
    45 = 3⁴ - 3³ - 3²
Dans la décomposition d'un entier en fonction des puissances de 3, on si l'on veut, on peut utilisez uniquement les coefficients -1, 0, 1


45 peut s'écrire en fonction des puissances de 4
   45 = 2 x 4² + 3 x 4¹ + 4⁰
Des autres décompositions sont
   45 = 1 x 4³ - 1 x 4² + 3 x 4⁰
   45 = 3 x 4² - 1 x 4¹ + 4⁰
Mais aucune n'utilise que des -1, 0, 1



Modélisation du problème
Supposons que nos 5 masses soient a, b, c, d, e
On note ? la masse à peser.

Pour la situation du graphique, on obtient:   ? = + b + d - a - c

Toutes les masses que l'on pourra peser sont celles qui peuvent s'écrire en fonction de a, b, c, d, e en n'utilisant que les coefficients -1, 0, 1.
0  veut dire que la masse n'est pas sur la balance
-1  veut dire que la masse est du côté de l'inconnue
+1  veut dire que la masse est de l'autre côté.

La base adéquate à utiliser est la base 3 (on décompose suivant les puissances de 3) car elle permet d'écrire tout entier en utilisant que des -1, 0 et 1.
La base 2 le permet aussi mais alors il faudrait plus de masse.

La plus grande puissance de 3 inférieure à 121 est:   81 = 3⁴
Ainsi on a besoin de 3⁴, 3³, 3², 3¹, 3⁰

La plus grande masse que l'on pourra peser sera:  1 + 9 + 27 + 81 = 121