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Olympiades Exercice National n°2

Posté par
JuABLR
11-03-20 à 18:11

Bonjour, j'ai passé ce matin même le concours des Olympiades et j'avoue avoir été totalement désarçonné devant les questions de l'exercice national n°2. Sur les quelques annales que j'avais fait jamais je n'avait réussi à répondre à aussi peu de questions. J'ouvre ce sujet pour avoir d'autres ressentis.
Merci d'avance

Posté par
verdurin
re : Olympiades Exercice National n°2 14-03-20 à 21:32

Bonsoir,
je crois que tu auras plus de réponses en donnant le sujet.

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 10:28

Je ne l'ai pas encore, nous avons du rendre les sujets à la fin de l'épreuve. Il s'agissait de l'exercice sur les "ensembles suprenant" dont le produit  et la somme des carrés des termes étaient égaux.

Posté par
littleguy
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 10:53

Bonjour,

Un lien pour l'énoncé :

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:00

Merci beaucoup voilà il s'agit de l'exercice 2. Avez vous un lien avec des corrections?

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:04

et tu as fait quoi dans cet exercice ?

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:08

J'ai réussi la question 0, 1b et c (la a j'ai trouvé comme unique solution 1 donc je présume que j'ai eu faux) et la 2)a) assez mal justifiée
Un vrai désastre...

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:09

Si j'avais été lucide j'aurais répondu à la 3) mais même pas

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:21

1-a : x=1 ou x=P(A)-1

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:22

1-b : comment as-tu fait ?

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:26

Très mal justifié mais J'ai dit que si P(A)-1 ne pouvait appartenir à P(A) car multiplié par d'autres nombre de l'ensemble: si multiplié par 1 alors inférieur et si multiplié par d'autres nombres alors supérieur à P(A) (P(A)-4 supérieur ou égal à 4)

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:30

P(A)-1 inférieur ou égal à 4*

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:33

P(A)-1 inférieur   supérieur  ou égal à 4

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:33

reprenons du début !

déjà ton "1-a" est faux !

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:34

oui

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:35

1-a :

l'équation s'écrit aussi

(x-1)(x-P(A)+1) = 0

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:40

donc 1a : les solutions sont 1 et P(A)-1

1b : les éléments de A divisent P(A) ....

si P(A)-1 est dans A, alors il divise P(A) et P(A)-1 4

or

P(A)-1 et P(A) sont premiers entre eux ...

d'où une contradiction !

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:57

bien sympathique ce petit problème !

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 11:59

Alala j'étais bien loin merci beaucoup

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 12:09

là j'ai pas le temps, mais en fin d'après-midi je mettrai des pistes pour la suite de l'éxercice

Posté par
JuABLR
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 12:10

Parfait!

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 16:53

1c :
en notant x=P(A)-1

P(A')-C(A') = x P(A) - [C(A) + x²] = ... = P(A) - C(A) - 1

en utilisant le fait que x est solution du 1a

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 16:59

1d :

soit k = P(A) - C(A) *

on considère la suite d'ensemble :

A0 = A

pour n 0

si P(An) > C(An) alors An+1 = An {P(An) - 1)}

Puisque la suite Un = P(An) - C(An) est arithmétique de raison (-1) avec U0=k

on a Uk = 0

donc Ak est un ensemble surprenant contenant A

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:01

1e :

en référence à la question précédente on a k=108 - 106 = 2

l'ensemble cherché est A2 = {3 ; 4 ; 9 ; 107 ; 11 555}

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:06

2a :

suppose que P(A)-2 A et soit X le produit des éléments de A différents de P(A)-2

P(A) = X (P(A)-2)

en remplaçant on voit que X ne peut valoir ni 1

donc X 2

donc P(A) 2 (P(A)-2)

donc P(A) 4

ce qui contredit l'hypothèse P(A)5

donc P(A)-2 A

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:18

2b :

en posant A' = A {P(A) - 2}

tu obtiens

P(A') - C(A') = ..... = P(A) - C(A) + (P(A) - 4)

avec P(A)-4 > 0 donc P(A')-C(A') P(A)-C(A) + 1

comme au 1d on va construire une suite sur ce procédé tant que P(An)-C(An) < 0

tant que le processus s'applique, la suite Vn = P(An)-C(An) est donc une suite de termes entiers négatifs strictement croissante.

le dernier terme Vk de cette suite est donc positif ou nul

Si il est nul c'est fini puisque Ak est surprenant et contient A

Si il est strictement positif, on a un ensemble Ak tel que P(Ak)5 et P(Ak)>C(Ak)

la question 1 nous livre alors un ensemble B surprenant contenant Ak, donc contenant A et c'est fini.

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:21

3 :

si A est tel que P(A) 4

il est clair que 5 A

alors A'=A{5} vérifie les hypothèses de la question 1 ou de la question 2

d'où le résultat demandé...

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:40

et enfin 4 :

P(A)=10 et C(A)=30... cadre de la question 2

A0=A et V0=-20

A1=A {8}

P(A1)=80 et V1=-20 + 6 = -14

toujours le cadre de la 2

A2=A1{78} et V2=-14+76=62

on repasse dans le cadre de la question 1... à partir de maintenant, en ajoutant à chaque fois un élément à l'ensemble la suite V est arithmétique de raison (-1)

pour arriver finalement à V64=0

donc A64 est un ensemble surprenant contenant A et comme, par construction, l'ensemble Ap possède (p+3) éléments, on a bien trouvé un ensemble surprenant à 67 éléments contenant A

Posté par
matheuxmatou
re : Olympiades Exercice National n°2 19-03-20 à 17:41

voilà... évidemment tout n'est pas rédigé à fond mais la trame est là...



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