Bonjour, j'ai passé ce matin même le concours des Olympiades et j'avoue avoir été totalement désarçonné devant les questions de l'exercice national n°2. Sur les quelques annales que j'avais fait jamais je n'avait réussi à répondre à aussi peu de questions. J'ouvre ce sujet pour avoir d'autres ressentis.
Merci d'avance
Je ne l'ai pas encore, nous avons du rendre les sujets à la fin de l'épreuve. Il s'agissait de l'exercice sur les "ensembles suprenant" dont le produit et la somme des carrés des termes étaient égaux.
J'ai réussi la question 0, 1b et c (la a j'ai trouvé comme unique solution 1 donc je présume que j'ai eu faux) et la 2)a) assez mal justifiée
Un vrai désastre...
Très mal justifié mais J'ai dit que si P(A)-1 ne pouvait appartenir à P(A) car multiplié par d'autres nombre de l'ensemble: si multiplié par 1 alors inférieur et si multiplié par d'autres nombres alors supérieur à P(A) (P(A)-4 supérieur ou égal à 4)
donc 1a : les solutions sont 1 et P(A)-1
1b : les éléments de A divisent P(A) ....
si P(A)-1 est dans A, alors il divise P(A) et P(A)-1 4
or
P(A)-1 et P(A) sont premiers entre eux ...
d'où une contradiction !
1c :
en notant x=P(A)-1
P(A')-C(A') = x P(A) - [C(A) + x²] = ... = P(A) - C(A) - 1
en utilisant le fait que x est solution du 1a
1d :
soit k = P(A) - C(A) *
on considère la suite d'ensemble :
A0 = A
pour n 0
si P(An) > C(An) alors An+1 = An {P(An) - 1)}
Puisque la suite Un = P(An) - C(An) est arithmétique de raison (-1) avec U0=k
on a Uk = 0
donc Ak est un ensemble surprenant contenant A
1e :
en référence à la question précédente on a k=108 - 106 = 2
l'ensemble cherché est A2 = {3 ; 4 ; 9 ; 107 ; 11 555}
2a :
suppose que P(A)-2 A et soit X le produit des éléments de A différents de P(A)-2
P(A) = X (P(A)-2)
en remplaçant on voit que X ne peut valoir ni 1
donc X 2
donc P(A) 2 (P(A)-2)
donc P(A) 4
ce qui contredit l'hypothèse P(A)5
donc P(A)-2 A
2b :
en posant A' = A {P(A) - 2}
tu obtiens
P(A') - C(A') = ..... = P(A) - C(A) + (P(A) - 4)
avec P(A)-4 > 0 donc P(A')-C(A') P(A)-C(A) + 1
comme au 1d on va construire une suite sur ce procédé tant que P(An)-C(An) < 0
tant que le processus s'applique, la suite Vn = P(An)-C(An) est donc une suite de termes entiers négatifs strictement croissante.
le dernier terme Vk de cette suite est donc positif ou nul
Si il est nul c'est fini puisque Ak est surprenant et contient A
Si il est strictement positif, on a un ensemble Ak tel que P(Ak)5 et P(Ak)>C(Ak)
la question 1 nous livre alors un ensemble B surprenant contenant Ak, donc contenant A et c'est fini.
3 :
si A est tel que P(A) 4
il est clair que 5 A
alors A'=A{5} vérifie les hypothèses de la question 1 ou de la question 2
d'où le résultat demandé...
et enfin 4 :
P(A)=10 et C(A)=30... cadre de la question 2
A0=A et V0=-20
A1=A {8}
P(A1)=80 et V1=-20 + 6 = -14
toujours le cadre de la 2
A2=A1{78} et V2=-14+76=62
on repasse dans le cadre de la question 1... à partir de maintenant, en ajoutant à chaque fois un élément à l'ensemble la suite V est arithmétique de raison (-1)
pour arriver finalement à V64=0
donc A64 est un ensemble surprenant contenant A et comme, par construction, l'ensemble Ap possède (p+3) éléments, on a bien trouvé un ensemble surprenant à 67 éléments contenant A
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