Bonjour, cygne.

Pour la première question:
Le domaine de définition de la fonction x -> x^a est ]0,+ l'infini[.
Ceci dit, il y a des cas où le domaine de définition peut être plus important (si a est dans N, si a est dans Z, si a=1/n avec n dans Z non nul ...)
Donc, tu as raison: on peut considérer que le domaine de définition de  x -> x^(0.6)  est R. Mais l'autre point de vue, qui consiste à considérer que le domaine de définition est ]0,+ l'infini[, est correct. Pour forcer ceux qui adoptent ce point de vue à considérer une fonction définie sur R, il faut effectivement considérer f(x)=racine cinquième de x^3.

Pour la première partie de la deuxième question:
si q est décomposée en combinaison linéaire de carrés, cette décomposition donne la signature de q, à condition que les formes linéaires intervenant dans les carrés forment un système libre. Par exemple   q(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2  n'est pas de signature (3,0), puisque les formes linéaires
f1(x,y,z)=x-y
f2(x,y,z)=y-z
f3(x,y,z)=z-x
ne forment pas un système libre.

Pour la deuxième partie de la deuxième question: la diagonalisation congruente donne effectivement la signature de la forme quadratique.

Pour la troisième partie de la deuxième question: on peut toujours effectuer, rapidement, une décomposition d'une forme quadratique en combinaison linéaire de carrés (même si ce n'est pas très agréable). Par contre, une diagonalisation congruente peut être très longue. Lorsque la taille de la matrice est grande, le calcul du polynôme caractéristique peut être très pénible. Et ensuite, il faut déterminer les racines de ce polynôme (ou,tout du moins, leur signe)