Bonjour,
tu prends deux réels u et v de I avec u<v et tu compares f(u)g(u) et f(v)g(v),
par exemple en regardant si le quotient est inférieur ou supérieur à 1.

salut
soient x et y des elements de I.

x > y

1 er cas : f et g sont croissantes.

donc f(x) >= f(y) et g(x) >= g(y).

de plus f et g sont positives donc
f(x) >= f(y) >= 0 et g(x) >= g(y) >= 0

donc f(x)*g(x) >= f(y)*g(y) >= 0
donc f*g est croissante.

je te laisse faire le second cas (pas trop complique)
2 eme cas : f et g decroissantes.

2) que peut on conclure ?
rien

exemple

I= [1,2]

f et g definie sur I par pour tout x dans I :

a)f(x)=x et g(x)=1/x donc f(x)*g(x)=1
f*g est constante sur I.
b) f(x)=x² et g(x)=1/x donc f(x)*g(x)=x
f*g est croissante sur I.

c) f(x)=x et g(x)=1/(x²) donc f(x)*g(x)=1/x
f*g est decroissante sur I.

d'apres les 3 cas on a tous les cas possibles.
on peut donc rien conclure pour f*g d'apres les seuls elements :

f et g positives definie sur I et monotones MAIS n'ayant pas la meme monotonie.

et positives dans l'histoire, ça veut dire ?

dans l'histoire si f positive sur I ca veut dire que pour toux x dans I f(x) >= 0.
meme chose pour g.
cette condition est necessaire pour pouvoir passer
de f(x) >= f(y) et g(x) >= g(y) a f(x)*g(x) >= f(y)*g(y)