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Optimisation
Bonjour à tous !
Je m'appelle Franck Thierry.Je suis un nouveau venu.Vous me pardonnerez mon opportunisme,car j'avoue avoir découvert ce site seulement parce que je suis dans une situation délicate.Toutefois,je vous promets que maintenant que je suis là,je participerai activement à la bonne marche de ce site.
A présent,permettez que je parle de mes difficultés académiques:j'ai un devoir d'optimisation la semaine prochaine ; je suis en train de le préparer en traitant d'anciennes épreuves. Cependant, j'éprouve de grosses difficultés car j'ai été très malade durant une bonne partie du déroulement de ce cours ; en plus, ces épreuves ne sont pas très faciles. Par conséquent, vous me rendriez un très grand service pour lequel je vous serais infiniment reconnaissant si vous m'en fournissez les corrigés.
Merci d'avance.
N.B: J'ai saisi les épreuves dans Word, à l'aide du logiciel MathType;lorsque j'ai essayé de faire un copier-coller vers cette page,les formules tapées à l'aide de MathType ont disparu,comme vous pouvez le constatez dans l'énoncé qui suit:comment faire,s'il vous plaît?
EPREUVE 1:
Exercice 1 :
Soit A une matrice symétrique définie positive (n ,n), B une matrice (p,n) de rang p et c .
a) Montrer que la matrice est inversible.
b) On considère le problème suivant : =inf [<c,x> : Bx=0,<Ax,x> ≤1].
Caractériser les solutions optimales de ce problème dans les deux cas suivants : c ( ) et c ( ).
Exercice 2 :
Soit C l'ensemble de défini par : C={(x1,x2) : x1+x2≤1,x1≥0,x2≥0}, et
f : → définie par f(x1,x2)=-x1-2x2-2x1x2+ +
1) La fonction f est-elle convexe ? concave ?
2) On considère (P) le problème de minimisation de f sur C.
a) Montrer que tout minimum, même local, de f se trouve sur la frontière Fr(C) de C.
b) Déterminer le cône tangent à C en ( T(C, ) ) et le cône normal à C en ( N(C, ) ) en tout point de Fr(C).
En déduire qu'il n'existe qu'un seul point de C vérifiant la condition nécessaire de minimalité du 1er ordre. Déterminer l'unique solution du problème (P).
3) Résoudre le problème de maximisation de f sur C.
Exercice 3 :
On considère le problème suivant : =inf [<c,x> : x≥0,Ax=a]
où c , a , A est une matrice (p,n) de rang p. On suppose en outre que
E={x : x≥0, Ax=a} est compact et Ê={x : x>0, Ax=a}est non vide.
a) Ecrire son problème dual.
Soit >0 donné ; on considère la fonction : f (x)= <c,x>- .
b) Montrer que le problème Inf [f (x) : x>0, Ax=a] admet une solution optimale et une seule. On la notera par .
c) Ecrire les conditions d'optimalité pour ce problème. Déduire de ces conditions et de la question a) l'inégalité : <c, > ≤ + n.
Soit x Ê ; on note X la matrice diagonale telle que Xii=xi pour tout i et e le vecteur de dont toutes les composantes sont égales à 1. On considère l'approximation du second ordre g de f au voisinage du point x :
g(x+d)= f (x)+< f (x),d>+< f (x)d,d>.
Soit d la solution optimale du problème Inf[g(x+d) : Ad=0] et .
d) Ecrire les conditions d'optimalité. Montrer que : || || +<c,d>- <e, > =0.
e) Soit et t>0 suffisamment petit pour que les fonctions soient bien définies.
Montrer que :
En déduire que : , puis, que pour un bon choix de t,
Comment faire ? MathType te permet de transformer les formules au format tex et l'ile dispose d'un embryon de latex (mais il faudra sélectionner tes formules une par une pour les entourer des balises tex..., à moins de faire du chercher/remplacer dans ton word avant le copié collé)
Par ailleurs, un exercice = un topic. (sans compter que ton gros pavé de 3 exercices est assez indigeste, en plus d'^tre illisible sans les formules...)
Bonjour,
tu peux le taper en Latex pour plus de clarté en passant en mode Latex grace au bouton LTX en bas du cadre 
J'ai essayé de te suivre tes consignes pour le latex,mais je ne suis parvenu à aucun bon résultat:j'ai activé le traducteur tex de mathtype,mais lorsque j'ai fait un copier-coller de monj énoncé,aucune traduction en latex ne s'est effectuée.L'on m'a conseillé de recourir au fichier image:je demande à l'administrateur une autorisation exceptionnelle pour y recourir,s'ilvous plaît!
Personne pour m'aider? Alors là,je suis cuit...A l'aide,SVP!
Le problème est que je ne sais pas utiliser le latex
Je rappelle que les énoncés dont je dispose sont des anciennes épreuves soumises parb mon prof d'optimisation aux promotions antérieures.Je les ai saisis moi-même,mais au moment de vous les soumettre ici,j'ai rencontré les problèmes dont je vous ai parlé plus haut.Mon idée actuelle est de les transformer en fichiers images,puis les faire héberger par un site:cela est-il possible?Si oui,comment m'y prendre,SVP?
Quand tu fais un copié collé de mathtype traduit en tex, n'oublie pas de placer les balises : sélectionne la formule, puis clique sur l'icone "LTX" en dessous de la fenêtre de saisie : ça écrira [tex,] et [/tex,] (sans les virgules) de chaque côté de ta formule. ensuite tu cliques sur "aperçu" pour contrôler le résultat, et si ça te plait, tu cliques sur "poster"
Le problème est que je n'arrive même pas à traduire Mathtype en tex!Mathtype dispose pourtant d'un traducteur en langage latex.J'ai essayé de l'utiliser,mais je n'ai pas réussi:peut-être m'y étais-je mal pris?En tout cas,voici comment j'avais procédé:
-J'ai d'abord saisi les énoncés de mes exos dans une fenêtre Word(les formules mathématiques ont été saisies en utilisant Word et Mathtype)
-J'ai ensuite activé l'option de traduction en langage latex dont dispose Mathtype
-J'ai ensuite fait un copier-coller de mes exercices de Word vers Mathtype
-Il s'est alors produit la chose suivante:dans mes énoncés,certaines formules ont disparu et ont été remplacées par du vide ou par des parenthèses vides;d'autres formules ont été remplacées par des symboles bizarres.
Après cela,je me suis dit que c'est moi qui ne savait pas utiliser le traducteur dont dispose Mathtype,et j'ai par conséquent abandonner.Tu m'aiderais donc beaucoup en me disant déjà comment traduire Mathtype en latex.
Merci d'avance!
C'est dans l'autre sens que ça marche : dans la fenêtre Math Type, tu copies ta formule. ensuite, tu la colles dans le document word, et là, tu vois apparaître le code LaTeX : il ne reste qu'à remplacer les balises usuelles par celles de l'île
Merci!Je vais essayer de trouver une solution.A tout-à-l'heure!
Lafol,j'ai suivi tes instructions et j'ai fait le chemin inverse:j'ai ainsi pu traduire Mathtype en latex.A présent,je n'arrive pas à faire afficher l'énoncé ici:j'ai pourtant mis les balises comme tu me l'as indiqué(j'ai sélectionner tout le texte,puis j'ai cliqué sur LTX en bas de la fenêtre mais ça n'a traduit que la première phrase et,ce,partiellement seulement;si c'est sur chaque formule qu'il faut mettre les balises,alors je ne pourrai pas le faire puisque,le texte étant déjà traduit en latex,je n'arrive plus à retrouver les formules saisies en Mathtype).Tout cela a l'air vraiment complexe:que faire?
Merci!
Je te remercie infiniment,lafol:dis-moi à quelle adresse te l'envoyer et je le fais sur-le-champ!
Merci!Je viens de t'envoyer les fichiers. Signale-moi si tu as besoin des énoncés non traduits en latex.
Merci encore!
Je t'envoie les énoncés non traduits en latex tout-à-l'heure.
Merci encore.
ça y est:lafol,je viens de t'envoyer les énoncés en Word.
Merci!
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