Tu pourrais exprimer la longueur de l'arc limitant le secteur AOB en fonction de  a  et de OA , puis en déduire l'expression du rayon r de la base du cône.

Ok merci ! Cela nous donne donc
AB=r*a
r=a/AB
Pour la hauteur il faut utiliser Pythagore ?

Je suppose que "AB" est la longueur de l'arc AB. Mais le rayon de cet arc n'est pas  r .

Bonjour,

Cela me rappelle le premier topic que j'ai posé sur l'île .
Puisque on prend pour comparaison OA et OB posons
OA=OB =R=1.
l'angle au centre sera  donc en fonction de 2
Exemple  x radians.
L'arc aura une longueur identique et sera la circonférence
de la base du cône .
On en déduit le rayon r de ce cône sans oublier que 1 en sera
la génératrice . Pythagore donnera  donc la hauteur et la formule
du volume fera le reste.
r=x/2
h= (1²-r²)
V=(r² h)/3
reste à trouver le maxi de cette fonction.
Sauf erreur autour de 5.13 radians.

Merci pour votre aide. L'énoncé indique que le volume en fonction de a est :
V(a)=(OA^3/24pi^2)*a^2*racine carré (4pi^2-a^2)
Selon vos formules précédentes on a donc :
R=OA/2pi
H=racine carré ( 1^2-(OA/2pi))
Je n'arrive vraiment pas à visualiser le problème.
Merci

Suite
*oui j'ai mis x au lieu de  a car ce sera l'inconnue (pas grave).
*et  comme le calcul se fait sur   OA =OB  qui sont les rayons
du cercle d'origine ,autant poser OA=1 (on mettra n'importe
quelle valeur après)
Tu a bien vu que mon  r=x/2  tu dois comprendre a( 0A/2)
Donc trouve h  puis V.

Pour h on a :
h=
?

Suite,
C'est pas un cadeau....
L'équation sera  du 3 ème degré  donc je pense que tu
devras faire un tableau pour trouver le maxi.

Je te joins une explication simplifiée ou tu verras qu'au lieu de
trimballer OA on ne tiendra compte de son cube qu'à la fin.
Pour info dans ta racine:    - OA²/4².

Merci beaucoup dpi pour votre schéma ! C'est très gentil de votre part. Donc en résumant cela on a :
r=(a)/2pi
h=
En remplaçant par les valeurs on trouve
V(a)=
Après on demande d'étudier les variations de V sur o;2pi exclue. Il faut donc calculer la dérivé de V'(a)
Mais là je ne sais pas comment faire car c'est le produit de trois fonctions dérivables.
Peut-être que
V'(a)=

Suite

Sur le site ,il est de coutume de se tutoyer (sauf exception...)
Une fois encore ,je t'encourage à ne pas t'encombrer de OA
puisqu'on démontre aisément que le volume sera proportionnel
à son cube.
Le plus important est de déterminer a et  tu devrais donc optimiser
ta dérivée.
Tu devrais arriver à a=5.1302 radians.

Ok. Pour se débarrasser de OA on dit que cela est égale à 1. Mais en effectuant la dérivée de V(a) je tombe sur une formule trop importante, cela est compliqué d'en déduire son signe.  

Si tu as vu les tableurs en cours, tu peux rechercher a
toujours avec OA = 1 :

a=1   V=0.026
a=2    V=0.100
a=3    V=0.210
a=4    V =0.327
a=5    V=  0.401
a=6    V=  0.283
entre 5 et 6 tu trouveras  autour des 5.13
et bien sûr ne pas oublier OA³

Peut-on justifier son exercice à l'aide d'un tableur ?

Si seul le résultat compte peut-être.... Les puristes devront trouver
la solution purement mathématique qui de toute façon aboutira
à un calcul à décimales....
Va au fond du problème et essaye de te faire une idée.
As tu testé a= 5.13 ?

On constate que lorsque a=5,13 le volume v(a) est maximale puisque v est croissante avant puis décroissante après cette valeur d'où le maximum. Donc le volume maximale du cône est maximale pour a=5,13

Cela  a le mérite d'être concret
Tu peux donc trouver en cm3 si  OA est exprimé en cm
Exemple  OA= 15 cm   V=1360.3 cm³.

Je pense qu'un des ténors du site (puriste) te donneras la
solution  académique ....

Merci beaucoup pour ton aide dpi !😁 Je demanderai à mon prof de maths pour la solution plus académique.

Pour ma part, je trouve que la dérivée du volume du cône s'annule pour  a = (8/3) = 5,13 radians environ.

Bonjour

Voilà la réponse académique que nous cherchions ,priam pourrais
tu décrire le passage de l'équation à la dérivée (j'ai vu ça il y a56 ans...)

r = aOA/2
h² = OA² - r²
V(a) = 1/3 (aOA/2)²h
= 1/3 (aOA/2)²[(OA² - (aOA/2)²]
= 1/3 OA³a²/4(1 - a²/4²)
Dérivée de a²(1 - a²/4²) :
2a(1 - a²/4²) + a²(- 2a/4²)/21 - a²/4²) .
Cette dérivée s'annule pour
4(1 - a²/4² - 2a²/4² = 0
4 - 6a²/4² = 0
a = (8/3) 5,13 .
Voilà.

Merci pour Fulbakator