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Oral X-PC-10 - Diagonalisation

Posté par
Aerobi 20-08-11 à 12:36

Bonjour

J'ai un petit problème pour la fin de la résolution d'un exercice. Je vous remercie d'avance pour l'aide apportée.

Résoudre dans \normalsize M_2(\mathbb{R}) puis \normalsize M_2(\mathhbb{C}) l'équation d'inconnue A: \normalsize A^2+A+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}

Soit \normalsize B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}. \normalsize det(B-xI_2)=x^2-1 Les valeurs propres de B sont 1 et -1. B admet deux valeurs propres distinctes et B\in M_2(\mathbb{R}) donc B est diagonalisable.

Soit \normalsize X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2

BX=X ... \normalsize X=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}. Donc \normalsize ker(B-I_2)=vect\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix} \\

BX=-X ... \normalsize X=x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\\end{pmatrix}. Donc \normalsize ker(B+I_2)=vect\begin{pmatrix}1\\-1\\\end{pmatrix}


Donc \normalsize B=PDP^{-1} avec \normalsize P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}, \normalsize P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}=\frac{1}{2}P et \normalsize D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}

Donc \normalsize A^2+A+I_2=PDP^{-1} donc \normalsize P^{-1}(A^2+A+I_2)P=D mais je ne sais pas comment continuer et comment résoudre dans R et C...

Merci d'avance.

Posté par
gui_toure : Oral X-PC-10 - Diagonalisation 20-08-11 à 14:53

Salut

Regarde ici

Posté par
gui_toure : Oral X-PC-10 - Diagonalisation 20-08-11 à 21:35

Pardon pour le lien raté !

Posté par
gui_toure : Oral X-PC-10 - Diagonalisation 20-08-11 à 21:38

En gros, la chaîne d'arguments :

- \displaystyle P^{-1}AP commute avec D
- or une matrice qui commute avec une matrice diagonale est elle-même diagonale, donc cela revient à chercher 2 inconnues au lieu de 4
- chacune vérifie une équation du second degré, ce qui peut justifier la résolution dans R ou C
- on multiplie par P à gauche P-1 à droite pour retrouver les matrices A solutions

Posté par
Aerobire : Oral X-PC-10 - Diagonalisation 20-08-11 à 23:22

Merci pour cette réponse

Oui je suis d'accord pour le début si on a (P^{-1}AP)^2+P^{-1}AP+I_2=D mais je ne vois pas pourquoi P^{-1}AP et D commutent car ça reviendrait à dire que P^{-1}APD=DP^{-1}AP mais je ne comprend pas en quoi si A est solution alors P^{-1}AP de X^2+X+I_2=D alors P^{-1}AP entraine que D et P^{-1}AP commutent...

Merci encore!

Posté par
gui_toure : Oral X-PC-10 - Diagonalisation 20-08-11 à 23:33

Une matrice quelconque M commute avec I, M, M² et toute combinaison linéaire finie de ses puissances, en particulier, M commute avec M²+M+I. Ici, on a donc que X commute avec X²+X+I = D.


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