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ordre

Posté par jacko78 (invité) 07-09-05 à 16:58

Bonjour, j'ai des petits soucis encore avec les ordres (pas encore abordés en cours, et je n'ai pas encore de bouquin de cours...) mais je pense que vous n'aurez pas de mal a m'aider...

Voila le truc :

Soient u et v deux éléments d'un groupe G respectivement d'ordre n et m.

a) Montrer que si u et v commutent et si n et m sont premiers entre eux, uv est d'ordre nm.
b) Montrer que si u et v ne commutent pas ou si n et m ne sont pas premiers entre eux, uv n'est pas forcement d'ordre nm.

Je sais ce qu'est l'ordre d'un élément d'un groupe mais c'est l'hypothèse sur n et m que je n'arrive pas a utiliser...

Merci a tous
jck78

Posté par jacko78 (invité)re : ordre 07-09-05 à 19:32

Non? Personne n'a d'idée vraiment?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 08-09-05 à 00:15

Bonjour jacko78;
notons U et V respectivement les groupes engendrés par u et v
on sait qu'alors:
U=\{e,u,..,u^{n-1}\}\\V=\{e,v,..,v^{m-1}\}
considérons l'application \phi:U\times V\to G\\(u^a,v^b)\to u^{a}v^{s}
comme u et v commutent \phi est un morphisme de groupes.
injectif:
car si (u^a,v^b)\in Ker\phi alors u^{a}v^{b}=e
donc u^{a}=v^{m-b} donc e=u^{na}=v^{n(m-b)}
et donc m divise n(m-b) et comme m et premier avec n on a que m divise m-b c'est à dire que m divise b donc b=0 ( puisque b\in\{0,..,m-1\} ) en remplaçant on a aussi u^a=e et a=0 (pour la mm raison) d'où (u^a,v^b)=(e,e) qui n'est que le neutre du groupe U\times V
ainsi U\times V est isomorphe au groupe Im\phi qui n'est que le groupe engendré par uv puisque d'aprés bezouth on peut trouver deux entiers p et q tels que pn+qm=1 et donc a-b=p(a-b)n+q(a-b)m et donc d=a-p(a-b)n=b+q(a-b)m d'où
(uv)^d=u^{d}v^{d}=u^{a-p(a-b)n}v^{b+q(a-b)m}=u^{a}v^{b}
ainsi le groupe engendré par uv à exactement nm éléments
CQFD

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 08-09-05 à 20:04

Je m'excuse une petite erreur de frappe,
lire plutot:
\fbox{\Phi:U\times V\to G\\(u^a,v^b)\to u^{a}v^{b}}

Posté par jacko78 (invité)re : ordre 08-09-05 à 20:41

Je me trompe peut etre mais la tu montres que le groupe engendré par uv  est de nm elements, mais est ce que ca veut dire que uv est d'ordre nm???

Posté par
charlynoodlesre : ordre 08-09-05 à 20:53

Bonsoir

Sert toi de :

Si n=ord(a) alors pour tout k tel que a^k=e alors k divise n

Charly

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 08-09-05 à 21:27

jacko78,
si \fbox{d=ord(uv)} alors le groupe engendré par uv est \fbox{<uv>=\{e,uv,(uv)^2,..,(uv)^{d-1}\}} et tu vois bien qu'il a exactement d éléments.

charlynoodles,
Si n=ord(a) alors pour tout k tel que a^k=e alors k divise n
ce n'est pas plutot n qui doit diviser k ?!!

Posté par
charlynoodlesre : ordre 08-09-05 à 22:35

Bonsoir


Démontrons que

si n=ord(a) et m=ord(b) et que a et b commutent alors ord(ab)|ppcm(m,n)

Notons l=ppcm(m,n)

d'après le lemme précédent on a :

\(ab)^l=(ab)....(ab)=a^l.b^l

Or l=ppcm(m,n) donc il existe t et r que l=mt et l=nr


donc a^l.b^l=a^{mt}.b^{nr}=(a^m)^t.(b^n)^r=e

Début de preuve de 1)

Notons z=ord(ab)

on a donc (ab)^z=e
a^z.b^z=e
a^z=b^{-z}
a^{nz}=b^{-nz}
b^{-nz}=e

d'où m|-nz or m et n premier donc m|z

de meme on trouve n|-mz et de meme n|z

d'où z|ppcm(m,n)=m*n

d'où ord(ab)|ord(a)*ord(b)

Voili voilà : reste à démontrer que ord(a)*ord(b)|ord(ab)
et que si ord(ab)=ord(a)*ord(b) alors ord(a) et ord(b) sont premiers

Voili voilà

Charly

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 08-09-05 à 22:58

Charly,
avec n=ord(a) et m=ord(b)
\fbox{ord(ab)|ord(a)*ord(b)} s'obtient directement puisque
(ab)^{nm}=a^{nm}b^{nm}=(a^n)^{m}(b^m)^{n}=e

et comment tu montres que \fbox{ord(a)*ord(b)|ord(ab)} ?

Posté par jacko78 (invité)re : ordre 08-09-05 à 23:00

merci beaucoup
mais au fait elhor_abdelali comment je fais pour la seconde question ? j'imagine qu eca doit etre bidon avecla premiere...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 08-09-05 à 23:52

Oui jacko78;
pour (b) il faut construire deux contre-exemples:
l'un où \fbox{ord(uv)\neq ord(u)ord(v)\\uv\neq vu\\ord(u)\hspace{5}et\hspace{5}ord(v)\hspace{5}premiers\hspace{5}entre\hspace{5}eux}
l'autre où \fbox{ord(uv)\neq ord(u)ord(v)\\uv=vu\\ord(u)\hspace{5}et\hspace{5}ord(v)\hspace{5}non\hspace{5}premiers\hspace{5}entre\hspace{5}eux}
j'en fais le premier:
plaçons nous dans S_3 groupe des permutations de l'ensemble \{1,2,3\}
avec \fbox{u=(12)\\v=(123)} il est facile de voir que \fbox{ord(u)=2\\ord(v)=3} et que \fbox{uv=(23)\\vu=(13)} et donc que \fbox{uv\neq vu\\ord(uv)=2\neq6=ord(u)ord(v)}
je te laisse le temps pour trouver le second.
je ferais un autre post si c'est nécéssaire

Posté par jacko78 (invité)re : ordre 09-09-05 à 00:36

je pense en tenir un un peu vaseux mais bon:

comme il n'est pas specifié que n et m sont differents j'ai pris dans S4 groupe des permutations de {1,2,3,4} avec

u=(1,2) et v=(3,4), ona alors ord(u)=ord(v)=2 et 2 et 2 ne sont pas premiers entre eux
uv=vu puisqu'ils sont a supports disjoints
uv est une permutation de S4 qui fait 1->2 2->1 3->4 4->3 et ord(uv)=2 different de ord(u)ord(v)=2x2=4

qu'en penses tu ??

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 09-09-05 à 01:01

Bravo jacko78,à mon avis on ne peut pas trouver plus simple.
amicalement elhor

Posté par
charlynoodlesre : ordre 09-09-05 à 09:44

Il y a la réciproque à démontrer :

si ord(ab)=ord(a)ord(b) alors ord(a) et ord(b) premiers


ord(ab)|ppcm(ord(a),ord(b))|ord(a)*ord(b)=ord(ab)

on a donc

ord(ab)|ppcm(ord(a),ord(b))et ppcm(ord(a),ord(b))|ord(ab)

donc ord(a)*ord(b)=ppcm(ord(a),ord(b))

or on sait que : ord(a)*ord(b)=ppcm(ord(a),ord(b))*pgcd(ord(a),ord(b))

ce qui implique que pgcd(ord(a),ord(b))= 1

d'où les ordes sont premiers

Voili voilà

Charly

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 09-09-05 à 14:48

Charly,j'ai l'impression que tu n'as pas bien lu l'énoncé:
a) Montrer que si u et v commutent et si n et m sont premiers entre eux, uv est d'ordre nm.
donc c'est clairement une implication que l'on demande qui est de la forme:
\fbox{et\{{(A)\\(B)}\Longrightarrow\fbox{(C)}
et puis de quelle réciproque tu parles:
est-ce \fbox{(C)}\Longrightarrow\fbox{et\{{(A)\\(B)} ?
Amicalement elhor

Posté par
charlynoodlesre : ordre 09-09-05 à 14:58

Oui elhor_abdelati , je sais bien qu'il s'agissait d'une implication.

J'ai rajouté la réciproque "gratuitement" . Ca peut toujours servir. J'aurais du préciser. Merci de l'avoir fait

Désolé de ne pas avoir été très clair.

Ca peut toujours servir

Merci encore

Amicalement Charly

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ordre 10-09-05 à 02:31

Oui effectivement la réciproque montrée par charly est:
\fbox{et\{{uv=vu\\ord(uv)=ord(u)\times ord(v)}\Longrightarrow\fbox{pgcd(ord(u),ord(v))=1}
que l'on peut aussi montrer en utilisant l'application:\fbox{\Phi:U\times V\to G\\(u^a,v^b)\to u^{a}v^{b}} qui est un mophisme de groupes puisque u et v commutent.
on aura en effet vu que \fbox{<uv>\subset Im\Phi} que:
\fbox{ord(uv)=ord(u)\times ord(v)=Card(U\times V)\ge Card(Im\Phi)\ge Card( <uv> )= ord(uv)}
et donc que \Phi:U\times V\to <uv> est un isomorphisme de groupes
ainsi avec \fbox{ord(u)=n\\ord(v)=m\\d=pgcd(ord(u),ord(v))} on a \fbox{\exists s\\u^{\frac{n}{d}}v^{\frac{m}{d}}=(uv)^{s}} et donc \fbox{\exists s\\u^{s-\frac{n}{d}}v^{s-\frac{m}{d}}=e} et donc \fbox{\exists s\\u^{s-\frac{n}{d}}=v^{s-\frac{m}{d}}=e} (puisque \Phiinjective)
et donc \fbox{n|(s-\frac{n}{d})\\m|(s-\frac{m}{d})} et donc \fbox{\exists p,q\\s=pn+\frac{n}{d}=qm+\frac{m}{d}} ie \fbox{\exists p,q\\sd=n(pd+1)=m(qd+1)} et comme \fbox{mn|sd}
puisque \fbox{(uv)^{sd}=u^{n}v^{m}=e} on a que \fbox{d|pd+1} ie \blue\fbox{d=1}
remarque importante:
en fait on a refait dans cet exercice la démonstration du théorème chinois à savoir que:
3$\blue\fbox{(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}}\times\mathbb{Z}/_{m\mathbb{Z}})\tilde~-(\mathbb{Z}/_{nm\mathbb{Z}})}3$\red\Longleftrightarrow3$\blue\fbox{pgcd(n,m)=1}



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