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ordre d'un element
Bonsoir a tous est ce que quelqun saurai maider sur ces deux question:
on considere G un groupe fini et commutatif
1/Soit g et sont dordre respectifs p et q avec p^q=1.montrer que gh est dordre pq
2/soit n le ppcm des ordre des elts de G. Montre que G admet un elt d'ordre n
Merci d'avance.
bonsoir a tous un exercice a resoudre
soit n le ppcm des ordre des elements de G.montrer que G admet un elt d'ordre n.
*** message déplacé ***
G est un groupe multiplicatif et commutatif
*** message déplacé ***
Bonjour, mejdi.
Voici une solution de la première question.
Donc, l'ordre r de gh divise pq.
De plus:
On en déduit que l'ordre de g, qui est égal à p, divise qr.
Comme p et q sont premiers entre eux, d'après le lemme de Gauss, p divise r.
De même, q divise r.
Comme p et q sont premiers entre eux, pq divise r.
en résumé: r divise pq et pq divise r. Donc r=pq
Bonsoir,
ce n'est pas bien difficile.
On considère la décomposition en facteur premier de et on considère un élément x de G d'ordre
.
On montre que est d'ordre
.
Ensuite on montre que l'ordre d'un produit de deux éléments du groupe est le produit des ordres de ces éléments et on conclut.
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