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orthocentre et symétrique
Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exercice que j'ai à faire pendant les congés. J'ai répondu aux deux premières questions mais les suivantes me posent problème.
Peut etre pourrez vous m'aider. Merci
Soit ABC triangle quelconque. O centre du cercle Circonscrit.
H l'orthocentre de ce triangle et D le point Diamétralement opposé à A.
1. Montrez que BH et CD sont // => ok
2. De même pour CH et BD => ok
3. En déduire que BC et HD ont même milieu => ok
4. Soit H' symétrique de H par rapport à BC.
Que représente (BC) dans HH'D. Démontrez que HH'D rectangle en H'
5. Démontrez que H' est un point du cercle circonscrit au triangle ABC.
6. Enoncer les théorème relatif au symétrique de l'orthocentre d'un traingle par rapport à un coté de ce triangle et du cercle circonscrit à ce triangle.
Les questions 4 5 et 6 sont un soucis...
Merci
bonjour
puisque (AH) hauteur, donc perpendiculaire à (BC)et que H et H' sont symétriques par rapport à (BC), (BC) est médiatrice de [HH']
Tu peux donc voir que (BC) est droite des milieux dans le triangle HH'D (je pense que je n'ai pas besoin de te donner d'explications)
et donc (H'D) est // à (BC)
et comme (BC) perpendiculaire à (HH')
on a donc bien un angle droit en H'
si H' n'est pas sur le cercle circonscrit, (HH') couperait le cercle en un point H" et l'angle en H" serait droit ( [AD] diamètre du cercle)
donc H' et H" sont forcément confondus et H' est donc bien sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
6) le symétrique de l'orthocentre par rapport aux trois côtés d'un triangle ABC se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle
Bonne fin de vacances et une bonne année 2006
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