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Orthogonalisation simultanée de formes quadratiques
Posté par unclerem
Bonjour à tous, j'ai un soucis sur la correction d'un exercice qui me semble fausse!
Citation :
Soient p et q deux formes bilinéaires symétriques sur un espace euclidien de dimension n. On note A et B les matrices de p et q dans une base C de E et l'on suppose que q est non dégénérée, c'est a dire que B est inversible.
Montrer qu'il existe une base simultanément orthogonale pour p et q si et seulement si la matrice B-1A est diagonalisable dans Mn(R)
Soient p et q deux formes bilinéaires symétriques sur un espace euclidien de dimension n. On note A et B les matrices de p et q dans une base C de E et l'on suppose que q est non dégénérée, c'est a dire que B est inversible.
Montrer qu'il existe une base simultanément orthogonale pour p et q si et seulement si la matrice B-1A est diagonalisable dans Mn(R)
Pour montrer la nécessité, dans la correction ils disent qu'en notant
la base orthogonale commune à p,q, et P la matrice de passage de à C alors il existe D,D' diagonales telles que A=tPDP et B=tPD'P
Puis tP=P-1 et ils concluent.
Mais P n'est pas orthogonale puisque ni
ni C n'est orthonormale!
Pourriez vous m'indiquer si j'ai tort? Merci
Bonsoir.
Il est exact que P n'est pas orthogonale.
Mais ce n'est pas important parce que:
donc
.... est diagonalisable.
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