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Niveau maths sup
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Orthonormalisation d'une famille de vecteurs.

Posté par
maxos
24-05-14 à 14:29

Bonjour à tous, je souhaite orthonormaliser la famille (u1,u2,u3)
avec u1=(1,2,2)
u2=(-1,4,1)
u3=(2,5,1)

je procède par la méthode de Schmidt
et j'obtiens que f1=1/3(1,2,2)

je trouve ensuite f2 sans trop de difficultés, j'obtiens f2=1/3(-2,2,-1)

mais c'est pour le calcule de f3 où j'ai des problèmes.
je calcule d'abord(u3|f1)=14/3
ensuite (u3|f2)=5/3
mais par la suite j'ai un problème de calcul:
j'essaye d'abord de trouver le "numérateur" en faisant
N= u3-((u3|f1)f1+(u3|f2)f2)
= (2,5,1)-14/9(1,2,2)-5/9(-2,2,-1)

et là le corrigé me donne que N=7/9(2,1,-2)
mais je n'obtiens jamais ce résultat, quelles sont les règles de calculs pour calculer l'expression de N s'il vous plait
je vous remercie

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 15:56

bonjour Maxos

voici là une methode je ne connaissai pas Schmidt quand le l'ai posté donc le titre reste vague

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 16:07

en fait j'utilise aussi ça pour determiner le rang d'une matrice n-p
la méthode me parait simple : pour explication je suis là

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 17:44

...au fait ma méthode te donne la base orthogonale  A correspondante à partir de la base M ou selon ce que l'on  desire en modifiant un peu la methode (trois fois rien) une famille de vecteurs orthogonaux formant le sous espace vectoriel de ta famille libre

ensuite tu fais ce que tu veux la normaliser ou pas(vecteurs tous de même normes)

la base orthogonale A obtenue ici à partir de M est telle que :

donc tous les vecteurs qui la composent sont orthogonaux entre eux

det A=det M

A^t.Aest une matrice diagonale

A^{-1}.Mest une matrice triangulaire superieure

etc .. voir le lien donné plus haut

je vais faire un petit programme sur une calculette (j'avais effacé le programme par inadvertance) voir ce que je trouve pour ta matrice pour me facilitier la lecture je la reécris ici

M=\begin {pmatrix} 1&  -1& 2 \\2 &4 & 5 \\ 2&1 & 1 \\ \end {pmatrix}

@+

Posté par
lafol Moderateur
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 18:45

Bonjour
En dimension trois, si tu ne veux pas t'embêter, tu complètes ta base par le produit vectoriel des deux premiers vecteurs obtenus : ça donnera forcément une base orthonormée directe, à partir du moment où les deux premiers vecteurs sont normés et orthogonaux entre eux

ton corrigé est faux, de toutes façons, le vecteur donné n'est pas de norme 1

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 19:00

Bonjour Lafol

si il veut une explication de mon lien je lui donne en fait le principe est tres simple à partir du produit scalaire euclidien tout s'explique quelque soit la dimension de la base

et comment aussi avec cette methode on determine le rang d'une matrice c'est pas compliqué non plus

en attendant j'ai pas eut le temps de refaire mon programme sur Casio mais là faut que je parte
quand je l'aurai fait je lui donnerai son A orthogonal

donc @+ tard  

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 19:37

là faut que je fasse à manger à ma mère (elle est handicapée) donc à plus tard
au fait Camarade "L"
on peut vous nommer autrement ?
ça me gêne à mort votre pseudo
je me vois mal dire bonjour Camarade L
bon merci pour votre réponse  

Posté par
maxos
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 22:03

merci pour ton partage amethyste
Lafol, merci pour ta méthode elle fonctionne bien, et il y a bien une erreur de corrigé
Merci !

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 22:16

de rien Camarade Maxos
pour toute explication de mon lien je suis disponible
évidemment sur R3 le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires te donnent une base

beh oui j'écoutais de la musique là
et j'ai pas voulu faire mon prog un peu ce flemme trop besoin d'écouter de la zic en fait
mais je le ferai demain Camarade  
sinon pour toute explication je suis là Camarade Maxos

ps: ma question du post de 19:37?

Posté par
lafol Moderateur
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 22:40

Mon pseudo ne te plait pas ?
même après avoir vu mon avatar qui en donne une interprétation musicale ?

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 24-05-14 à 22:45

J'adore ton pseudo Camarade
juste que bon ... c'est pas évident
ma Camarade éternnelle
bonne musique ma Camarade
bonne nuit

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 25-05-14 à 16:16

bon voilà  le programme est tres court faire mais je n'avais pas trop le temps

donc à partir de la matrice

M=\begin {pmatrix}1 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 1    \end {pmatrix}  

det M=-21

j'ai obtenue la base orthogonale A avec donc

det A=det M

A=\begin {pmatrix}1 &  -2& \frac {14}{9} \\ 2 & 2 & \frac {7}{9}  \\ 2 & -1 & \frac {-14}{9}     \end {pmatrix}

que je normalise en vecteurs unités pour obtenir la base ortho-unitaire

det  B = -1 le determinant est negatif car le determinant de M est negatif

B=\begin {pmatrix}\frac {1}{3} & \frac {-2}{3} & \frac {2}{3} \\ \frac {2}{3} & \frac {2}{3} & \frac {1}{3} \\ \frac {2}{3} & \frac {-1}{3} &  \frac {-2}{3}   \end {pmatrix}

donc on verifie

A^t.A   est une matrice diagonale

A^t.A =\begin {pmatrix}9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 &  \frac {49}{9}   \end {pmatrix}

A^{-1}.M est une matrice triangulaire superieure de valeurs 1 sur sa diagonale

A^{-1}.M =\begin {pmatrix}1 & 1 & \frac {14}{9} \\ 0 & 1 & \frac {5}{9} \\ 0 & 0 &  1   \end {pmatrix}


toute explication que uniquement par le produit scalaire euclidien

Posté par
amethyste
re : Orthonormalisation d'une famille de vecteurs. 25-05-14 à 19:07

la base orthogonale  A du post precedent ayant été obtenue par le moyen d'un programme très court écris sur une casio autant que je le poste en même temps  

M est une base de l'espace vectoriel euclidien \mathbb {R}^n sa representation matricielle est de determinant non nul

le programme nom "ORTH" avec un sous programme du nom de "ORTH1"

pour le reste voir le lien du 24-05-14 à 15:56

programme principal "ORTH" une matrice de determinant non nul est entrée dans le programme il en ressort la matrice A

Listing  programme  "ORTH"

Mat -> List (M,1) -> List 1 : List -> Mat (1) -> Mat A : Dim mat M -> list 1 : List 1[1] -> n : If n=1 : Then Return : Ifend : 1->i : 2-> j : 1-> k : goto 1
Lbl 1 : Mat -> List (A,i) -> List 1 : List -> Mat (1) -> Mat V : Mat -> List (M,j) -> List 1 :
List -> Mat (1) -> Mat W : Prog "ORTH1" : If i=k : Then Goto 2 : Ifend : i+1 -> i : Goto 3
Lbl 2 : Augment (Mat A, Mat Z) -> Mat A : If j=n : Then  Return : Ifend : 1->i : j+1 -> j : k+1 -> k : goto 1
Lbl 3 : Mat Z -> Mat W : Mat -> List (A,i) -> List 1 : List -> Mat (1) -> Mat V : Prog "ORTH1" : If i=k : Then Goto 2 : Ifend : i+1 -> i : Goto 3

Listing sous programme "ORTH1"

(Trn Mat V).Mat V -> Mat U : Mat U[1,1] -> a : (Trn Mat W).Mat W -> Mat U : Mat U[1,1] -> b :
(Trn Mat V).Mat W -> Mat U : Mat U[1,1] -> c :
(a.Mat W)-(c.Mat V)-> Mat X : a.Mat W -> Mat U : (Trn Mat U).Mat U -> Mat Z : Mat Z[1,1] -> d :
c.Mat V -> Mat U : (Trn Mat U).Mat U -> Mat Z : Mat Z[1,1] -> e :
(d.a)+(e.a)-(2.c^2.a^2)-> u : Racine carrée (((a.b)-c^2)/u) -> g : g.Mat X -> Mat Z : Return

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