Bonjuor bbara25

ABCD est un parallélogramme donc (AB)//(CD)
I mil ABCD => I mil [AC] et [BD]
Comme M est par construction l'intersection de (CM) parallèle à ((BD) passant par C
alors dans le triangle ACM, I mil [AC] et (IB)=(BD) //(CM) => B mil [AM] (théorème de thalès)
il vient AI/AC=AB/AM=BI/CM=1/2
donc BI=1/2 BD soit CM=BD (en distance)

De la même façon dans CAN, on démontre par thalès que D/CN=CI/CA=ID/AN=1/2
Et ID=1/2 BD donc BD/AN=1 soit BD=AN

AN=CM=BD

Nature de AMCN ?
==> AM=2AB et CN=2CD donc AM=CN et (AM)//(CN)
Comme (AN)//(BD)//(CM) et AN=CM
AMCN est un parallélogramme de centre I.
Bonne journée

merci beaucoup pour votre attention et très bonne journée à vous de même

Bonjour BBara et FForg-Thalès.
DBMC et DBAN sont des parallélogrammes par construction.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux deux à deux.
Donc DB = CM et DB = AN : CM = AN.
AB = DC; AB = ND; DC = BM : les quatre longueurs AB, DC, ND et BM sont égales.
Donc AB+BM = ND+DC : AM = NC;
Un quadrilatère est une parallélogramme quand deux de ses côtés sont parallèles et égaux.
C'est le cas des côtés AM et CN du quadrilatère AMCN.
Donc le quadrilatère AMCN est un parallélogramme.

Bonjour plumemeteore et merci beaucoup pour ces éclaircissements