Bonjour,
Merci d'avance et joyeux Noël à tous.
1) Donner un paramétrage
a)
b)
c)
d)
2) Donner un paramétrage normal des courbes suivantes :
a)
b) ;
c)
Réponses
a) Là c'est un exemple du cours que j'ai pas compris.
Pour a :
Soient
p *
P la parabole d'équation y² = 2px .
f : ² , t (t²/2p , t) .
f est injective et si f() = P on pourra dire que ( , f) est un paramétrage de P .
Pour c : Si a et b sont des réels > 0
( [0 , 2[ , t (cos(t) , sin(t))) est un paramétrage de E := { (x , y) │ x²/a² + y²/b² ) 1 }
...
Bonsoir,
Franchement, matheux14, ne trouves-tu pas évident que la parabole d'équation admet la paramétrisation ?
Oui, j'ai bien compris que :
(P) : y² -2px =0
y² = 2px
x = y²/px
Donc f : IR --> IR²
t |--> (t²/2p ; t)
est un paramétrage de la parabole (P) si f est injective et f(IR) = (P)
On montre que f est injective, mais comment montrer que f(IR) = (P) ?
@matheux14
Quand t parcourt , f() est l'ensemble des points de coordonnées (t2/2p, t)
Quant à P, d'équation y2=2px, c'est l'ensemble des points de coordonnées (y2/2p, y) quand y parcourt
Tu vois bien qu'il s'agit du même ensemble
Oui je vois bien, merci.
b) La parabole (P) : y = cosh(x)
Pour exprimer x en fonction de y, j'essaie de passer par la forme exponentielle mais je bloque..
Bonjour,
Si tu ne vois pas directement ce qui pourrait être pris comme paramètre, tu peux au moins commencer par écrire
x= Argcosh(y) à mettre ensuite sous sa forme logarithmique.
Soit
* Soit
Par conséquent a = b.
* Lorsque t parcourt , f décrit les points .
Et y = cosh(x) est l'ensemble des points de coordonnées .
Finalement f est un paramétrage de y = cosh(x).
Revois ta réponse de 18h29, tel quel c'est faux , tu as oublié quelque chose en route.
Pour le coshx.
Attention.
La fonction est la fonction réciproque de la fonction restreinte à .
De plus, comme , tu dois supposer
Ta fonction f n'est donc définie que sur et tu n'auras ainsi paramétré que la fonction restreinte à cet intervalle.
D'accord.
2)
a) est un paramétrage normal car cos²(t) + sin²(t) = 1.
b) Un paramétrage est
Pour trouver un paramétrage normal, il faut qu'on ait un autre paramétrage tel que ; ; f n'est pas un paramétrage normal.
Ah oui, c'est
Ah oui, c'est
Non ça ne va pas du tout . En reprenant tes premières notations (j'aurais dû te le dire)
dont on peut tirer y en fonction de t...
Le fait de poser donne immédiatement le paramétrage (revenir à la définition de, mais en poursuivant le calcul ci-dessus on détermine un unique ce qui en justifie la validité.
Oui, mais là tu reviens en arrière, alors autant écrire directement
x=ln(t) d'où coshx=(ex+e-x)/2= (t+1/t)/2, t>0
Ce qu'on pouvait faire.
x=ln(y+(y2-1)) . Si l'on veut faire disparaître les logs, on pose x=ln(t)
alors t=y+(y2-1) d'où t-y=(y2-1) et en élevant au carré et après simplification
t2-2ty=-1 d'où y= (t2+1)/(2t), et le paramétrage.
Ce paramétrage n'est pas un paramétrage normal de la chaînette y=cosh(x).
On peut en obtenir un en exprimant t en fonction de l'abscisse curviligne s.
On a un paramétrage de la chainette y = cosh(x) qui est :
Calculons l'abscisse curviligne s d'origine O de f.
On a
L'abscisse curviligne est donc
Si on néglige l'origine t0 ; alors
Comme j'avais relancé cet exercice, je vais te répondre.
Ta dernière ligne est fausse.
On "ne néglige pas l'origine" t0, mais comme on peut la choisir quelconque, autant prendre ici t0=1
Revoie donc ta dernière expression de s et ensuite calcule t(s).
Ben oui, prenant s(t0) pour origine, et erreur de calcul corrigée, on a
,
équation du second degré en dont on ne retient que la racine positive.
Oui, après quoi tu remplaces t par cette valeur dans le paramétrage en t et tu auras un paramétrage normal en s , (x(s), y(s)).
Oui, s'écrit aussi
Voilà, pour le dernier je n'ai rien trouvé de bien passionnant. Un calcul analogue est évidemment possible, mais il y a peut-être mieux à faire.
Nul doute qu'un autre intervenant te viendra en aide si tu poursuis. Au moins ça de positif...
En tous cas, si j'ai pu t'aider un peu, tu m'en vois très content.
Bonne continuation.
Rebonjour
Pour le dernier, ça marche à peu près de la même manière.
On pose et pour avoir .
Ensuite on exprime tout en et on trouve une équation du second degré.
Je n'ai pas fait les calculs, c'est sans garantie. Je suis étonnée qu'il n'y ait pas des hypothèses sur et .
larrech, vous m'avez beaucoup aidé.
Merci beaucoup.
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