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Niveau Licence-pas de math
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paramétrisation calotte sphérique

Posté par
azerty4
25-11-18 à 18:56

Bonsoir

On cherche à paramétriser une calotte sphérique en fonction de u et v pour calculer son aire

Je vois = dans le cas d'une sphère que
x = R sin (u) cos (v)
y = R sin(u) sin(v)
z = V

Mais dans la calotte sphérique je ne vois pas quels paramètres ajuster ?


Merci d'avance pour votre aide !

Bonne soirée

Posté par
matheuxmatou
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 18:59

bonsoir
je suppose V<R ...!
ce que tu écris n'est pas une calotte mais un parallèle

Posté par
azerty4
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:05

Bonsoir,

C'est la paramétrisation d'une sphère que nous avons dans notre cours (avec un petit v après z : z =v

Pour la calotte je vois que
x² + y² + z² = R²
R - h \leq z \leq R
Mais je ne vois pas, comment à partir de ca, paramétriser en fonction de u et v ...


Merci pour votre aide

Posté par
matheuxmatou
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:09

ben comme tu as fait !
x=Rsin(u)cos(v)
y=Rsin(u)sin(v)
z=Rcos(u)

v[0;2]
uarcos((R-h)/R)]

Posté par
matheuxmatou
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:10

pardon...

u [0;arcos((R-h)/R)]

Posté par
azerty4
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:17

Donc on a T(u,v) =
x=Rsin(u)cos(v)
y=Rsin(u)sin(v)
z=Rcos(u)

Et pour l'aire de la calotte dS = \frac{\partial T}{\partial u} * \frac{\partial T}{\partial v} du dv (produit vectoriel)

L'intégrale va être horrible , n'y a t il pas un moyen plus économique ?

Posté par
azerty4
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:19

(il manque la norme du produit vectoriel dans ma formule)

Posté par
matheuxmatou
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:25

je comprends rien à ce que tu dis !

D dx dy

où D est ta calotte ...

fais le changement avec le jacobien en u et v ...

Posté par
matheuxmatou
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:40

euh oublie mon message précédent ! j'étais partie sur les aires planes

ok, calcule le ce produit vectoriel ! tu verras bien ...

Posté par
azerty4
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 19:46

Dans notre cours nous avons pour l'aire d'une surface
• Paramétriser en fction de u et v et obtenir \vec T (u;v)

dS = \begin{Vmatrix} \frac{\partial \vec R}{\partial u} * \frac{\partial \vec R}{\partial v} \end{Vmatrix} du dv

Je pense que cette méthode est identique (et beaucoup moins rapide que passer par le jacobien car les calculs du produit vectoriel sont horribles)

Avec la Jacobien, on a donc I = \int \int R² cos (u) du dv
u alant de 0 à arcos [R-h)/R]

S = R² \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{arcos((R-h)/R)}{sin(u)}} du dv = 2\pi \left[-cos (u) \right]^{arcos (R-h)/R} _0

J'ai S = 2 \pi (h-R)/R



Je ne vois pas comment rattraper un S = 2Rh

Merci d'avance

Posté par
larrech
re : paramétrisation calotte sphérique 25-11-18 à 23:08

Bonsoir,

Il y a une étourderie dans le dernier calcul

S = R² \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{arcos((R-h)/R)}{sin(u)}} du dv = 2\pi R^2\left[-cos (u) \right]^{arcos( (R-h)/R)} _0= \blue{2\pi R^2(1-\dfrac{R-h}{R}})

Et l'on retrouve bien S = 2Rh

P.S Les calculs sont également très simples en utilisant la norme du produit vectoriel.



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