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Parité de dimension en cas d'égalité de noyau et d'image
Bonjour,
j'ai pas mal de difficultés en algèbre linéaire, donc je m'entraîne.
J'ai repéré un exercice qui me montre assez clairement mes difficultées.
** image supprimée ** quelques lignes à recopier, merci de respecter le règlement*
Dans le sens direct, il n'y a pas de soucis, l'égalité du noyau et de l'image impose l'égalité des dimensions. Donc par théorème du rang, n est pair.
Dans le sens indirect, c'est plus compliqué. Je ne vois pas comment y parvenir avec l'indication.
En supposant n pair, je ne vois pas comment l'introduction d'une base nous aiderait à trouver un endomorphisme tel que décrit l'indication...
J'ai posé une base (e1, e2, ..., en) et... Euh... Comment continuer ?
Pourriez-vous m'éclaircir ?
Merci beaucoup !
* modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques > il32, 
lire Q10 
[lien]*
Mon image a été supprimé, navré de ne pas avoir respecté le règlement. Je le remets ici en texte !
On désigne par E un espace vectoriel de dimension n.
Démontrer que
u 
L(E) t.q. Ker(u) = Im(u) 
(n est un entier naturel pair)
L'indication, pour le sens direct, demandait d'utiliser le théorème du rang. Dans le sens indirect, il est suggéré d'introduire une base de E, et d'en définir un endomorphisme tel que Ker(u) = Im(u)
Bonjour
exemple en dimension 2 : base (i,j)
f(i) = j, f(j) = vecteur nul
tu en penses quoi ? quelle est l'image de f ? quel est son noyau ? comment généraliser ?
Bonjour
exemple en dimension 2 : base (i,j)
f(i) = j, f(j) = vecteur nul
tu en penses quoi ? quelle est l'image de f ? quel est son noyau ? comment généraliser ?
Effectivement, c'est vrai que f respecte les propriétés de l'énoncé.
f(i) = j donc Im(f) = Vect(j)
f(j) = 0 donc Ker(f) = Vect(j)
Ici, il est vrai, on a Im(f) = Ker(f)
C'est vrai que je n'y avais pas pensé.
Pour généraliser, je propose :
Si on écrit n = 2p (p un entier naturel).
Je vois mieux. On peut alors poser une base (e1, e3, ..., e2p+1, e2, ..., e2n), on peut alors définir
f(e1) = e2
et pour k allant de 1 à p
f(e2k-1) = e2k
et
f(e2k) = 0
On a alors :
Im f = Vect(e2, e4, ..., e2p)
Ker f = Ker(e2, e4, ..., e2p)
Et on a bien trouvé un endomorphisme f de E (dimension paire) telle que Im(f) = Ker(f) !
Merci beaucoup, j'ai mieux compris comment cela fonctionne !
A moins d'une erreur de ma part ?
Bonjour,
Je réponds en l'absence de lafol :
Pas d'erreur à priori, mais des coquilles :
(e1, e3, ..., e2p+1, e2, ..., e2n) au lieu de (e1, e3, ..., e2p-1, e2, ..., e2p)
Et une autre évidente :
Ker f = Vect(e2, e4, ..., e2p)
Bonjour,
Je réponds en l'absence de lafol :
Pas d'erreur à priori, mais des coquilles :
(e1, e3, ..., e2p+1, e2, ..., e2n) au lieu de (e1, e3, ..., e2p-1, e2, ..., e2p)
Et une autre évidente :
Ker f = Vect(e2, e4, ..., e2p)
Oui en effet, j'ai rédigé mon message beaucoup trop vite. Merci d'avoir soulevé ces points !
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