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partié du déterminant

Posté par
fiston 09-11-07 à 15:16

bonjour à tous,

je bloque sur cet exercice:
on doit montrer que le déterminant d'une matrice symétrique, d'ordre impair, a termes entiers, dont les termes de la diagonale sont sont pairs, est pair

je l'ai facilement montré a l'ordre 3, mais je bloque pour le montrer a tout rang n .

merci pour votre aide

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:32

Bonjour à toi fiston,

je lance une idée en l'air comme ça (je suis pas sûr que ça marche) mais je pense que si tu reviens à la définition du déterminant ça peut marcher.

Tu dis que
\Large{\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n}\sum_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}} où S_n est le groupe symétrique.

Et tu montre que pour n impair, et pour tout \sigma \in S_n, soit il existe j tel que \sigma(j)=j (point fixe),
soit il existe \sigma'\sigma tel que \sigma=\sigma^{-1}.

Essaye de voir si tu peux conclure avec ça. IL y a sûrement plus facile, mais finalement je pense que ça marche bien!

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:35

j'ai oublié de mettre la signature dans la définition (remarque qui peut t'aider : une permutation et la fonction réciproque de cette permutation ont même signature!)

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:39

je corrige car j'ai fait encore une bétise c'est une somme mais un produit:
\Large{\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n}\prod_{i=1}^n\epsilon{ a_{i,\sigma(i)}}

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:39

grrrr

\Large{\det(A)=\sum_{\sigma \in S_n}\prod_{i=1}^n\epsilon(\sigma){ a_{i,\sigma(i)}}

Posté par
lolo217re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:51

Joli exo , je te donnes une indication :

Que peux-tu dire du déterminant d'une matrice ANTI-symétrique de taille impaire ?

Si ça suffit pas demande...

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:52

Oui c'est bon ça marche grâce au lemme suivant que je vais te démontrer :

Citation :
Lemme : (un peu mieux formulé que précédemment)
Pour \sigma \in S_n avec n impair,
soit \sigma admet un point fixe,
soit \sigma vérifie \sigma^{-1}\sigma.


Preuve : Soit \sigma \in S_n,
cette permutation peut se décomposer en une composition de cycles disjoints : (connais-tu ce théorème?)
\large{\sigma=c_1c_2...c_s} tel que la somme des longueurs des cycles c_i soit égal à n.

Ainsi comme n est impair, il existe c_i tel que la longueur de c_i soit impair.
-soit la longueur est 1 est donc \sigma admet un point fixe,
-soit la longueur est strictement supérieur à 1 et donc c_i\neqc_i^{-1}.
soit \large{\sigma = c_1...c_i...c_s \neq c_1^{-1}...c_i^{-1}...c_s^{-1} = \sigma^{-1}} (les c_i sont disjoints)

cqfd!

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:53

Bonjour lolo217, il y a une démo plus facile?

Posté par
lolo217re : partié du déterminant 09-11-07 à 15:55

Ben je comprends pas la tienne   donc la mienne est plus facile ....

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:00

Ben disons que j'ai pas tout fait, j'ai juste démontré le lemme...

Une fois démontré le théorème c'est plus facile il suffit de partionner S_n comme dans le lemme, et ça marche tout seul!

Mais sinon c'est pas grave je me suis bien amusé à le résoudre!

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:00

le lemme pas le théorème

Posté par
lolo217re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:04

Ah OK je comprends ta preuve !

Bon alors voici la mienne Si  A  est anit-symétrique d'ordre impair alors le déterminant de A est nul ( det(tA) = det(A)= (-1)^ndet(A)).

Mainteannt si  A est symétrique avec des termes pairs sur la diagonale, la réduction de A modulo 2 est symétrique avec des 0 sur la diagonale...donc A est congrue modulo 2 à une matrice anti-symétrique ( -1=1 mod 2) donc det(A) est congru à 0 modulo 2 soit pair.

Posté par
Ju007re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:06

ah oui c'est plus joli!
Fallait-il y penser...

Posté par
lolo217re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:07

euh je suis pas sûr de comprendre ta preuve si tu regroupes sigma et son inverse pourquoi la somme correcpondante est paire ?

Posté par
lolo217re : partié du déterminant 09-11-07 à 16:08

ok impair +impair = pair ca marche aussi


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