Bonjour,

C'est clairement faux. Par exemple l'ensemble des parties à un élément de IR est indénombrable comme IR, donc l'ensemble de ses parties finies aussi.

Par contre, l'ensemble des parties finies d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Hum oui je suis d'accord. La proposition que tu me proposes est la question 1 de mon exercice qui a déjà été traité.

Alors du coup je cherche d'autre piste: ai-je le droit de dire que si X est un ensemble infini et Y l'ensemble de ses parties infinies alors P(X)=XY ?

Pour écrire cela il faudrait que soit une partie de , or c'est seulement un élément de .

Ta proposition devrait plutôt être "l'ensemble des parties finies d'un ensemble indénombrable est indénombrable", non?

Ok je comprend. Par contre du coup je ne vois plus du tout comment faire l'exo.
Il s'agit de montrer que l'ensemble des parties infini d'un ensemble infini n'est pas dénombrable.


Si on note X l'ensemble infini et Y l'ensemble des parties infinies de X on a: Card(X)Card(). Et on veut montrer que Card(Y)>Card(). J'aurais envie moi à priori vu les hypothéses sur X de montrer que Card(Y)>Card(X). En plus d'après mon cours je sais que Card(E)<Card(P(E)) et comme Y est une partie de X ça ressemblerai à ça mais je n'arrive pas à le montrer.

Mais à priori sur internet j'ai vu une proposition qui dit que comme Y est inclus dans X alors card(Y)Card(X) donc ce que je veux démontrer c'est pas le bon chemin.

Je suis un peu perdu là.

Bonjour.

L'ensemble des parties infinies contient l'ensemble des complémentaires des singletons.

Ah.

Alors ZY avec Z infini (inclusion ou égale). Puis je dire que Card(Z)<Card(Y) ? A priori ça semble faux (il faudrait déjà une inégalité large car si Y=Z alors on a une absurdité) mais pourtant j'ai besoin de ça pour conclure.

Ok je crois avoir réussi.

ici ZY car Y contient d'autre ensemble infini. Par exemple, les ensemble du type union du complémentaire de singleton qui sont des ensembles infinies car union d'ensemble infinis.

Alors la fonction Id: ZY est clairement injective. Mais si on prend un yY\Z alors y n'a pas d'antécedent dans Z par f. Donc la fonction n'est pas surjective. Donc Card(Z)<Card(Y). ces't bien ça ?

On suppose dans un premier temps que est infini dénombrable.

Alors .

On a vu précédemment que .

Or l'ensemble indénombrable est l'union disjointe de et . Donc est aussi indénombrable.

Je te laisse le cas où est infini indénombrable.

Hum j'ai compris ton raisonnement mais justement ce qui me pose problème c'est quand X est infini non dénombrable.

Pourquoi ne pas faire ça:


Soit X un ensemble infini. Soit Y l'ensemble des parties infinies de de X. Soit Z l'ensemble des complémentaires des singletons de X.

Comme X est infini (il existe une infinité de singleton) alors Z est infini. Il est clair que Z est inclus dans Y. C'est une inclusion stricte car ZY. En effet, {complémentaire({x}{y})|(x,y)X²} appartient à Y mais pas à Z. Donc Card(Z)<Card(Y). En effet, il existe une injection de Z dans Y. Il suffit de prendre l'identité. Et comme l'inclusion est stricte alors aucune fonction de Z dans Y ne pourra être bijective. Donc l'inégalité est stricte.

Comme Z est infini on a: Card(Z)Card(N). Donc par suite Card(Y)>Card(N). Donc Y est non dénombrable.


C'est correct? Ce qui me pose problème le plus c'est ce qui est en gras.

Il vaut mieux oublier ma remarque et suivre ce que dit romu.
(mon idée pourrait marcher si on admet l'hypothèse du continu, ce qui n'est clairement pas une bonne idée. )

Ok je suis vraiment perdu. Alors en ce qui concerne l'idée de Romu je suis d'accord lorsque X est infini dénombrable c'est ok grace au théorème qu'on a démontré juste avant: l'ensemble des partis finies d'un ensemble dénombrables est toujours dénombrable ce qui assure que P_fini(X) est dénombrable.

Mais lorsque X n'est pas dénombrable on ne peut pas utiliser ce théorème et du coup la méthode de séparer P(X) en l'union de p_fini et P_infini ne marche plus car on sait que P(X) est non dénombrable mais on ne sait rien sur P_fini et _infini.

Pour le cas où est indénombrable,

ou bien on se rabat sur le cas déjà traité, en considérant un ensemble infini dénombrable .

Ou bien, on utilise l'idée d'Arkhnor qui marche bien dans le cas où est indénombrable.

Si est l'ensemble des complémentaires de singletons de , alors clairement .

@sasaki93:

Par rapport à ton post du 22-09-11 à 16:00,  

attention, une inclusion stricte n'entraîne pas nécessairement une inégalité stricte au niveau des cardinaux.
Par exemple , mais ils sont de même cardinal.

Dans ce que tu as mis en gras tu ne peux donc pas affirmer aussi facilement que Card(Z)<Card(Y).

Merci j'ai tout compris maintenant. Je pense avoir fini l'exercice.