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Passer d’une forme récurente à explicite Suites

Posté par
FerreSucre
17-12-19 à 10:38

Bonjour j'ai une suite :
Un+1=Un + 2n - 1.      Uo = 5
J'aimerais savoir si il y a un moyen de trouver une forme explicite par une démonstration rigoureuse pas par intuition. Je sais faire pour les suites arithmeticogeometrique mais ici 2n-1 est variable et n'est pas fixe alors ça ne fonctionne pas. Merci 😅

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 10:47

Bonjour,

Par exemple, tu peux calculer v_n=u_{n+1}-u_n puis faire la somme:

  v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}=u_n-u_0

Posté par
Glapion Moderateur
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 10:52

D'une manière générale non, mais dans des cas particuliers oui.
Par exemple dans le cas que tu cites, on peut écrire la relation de récurrence pour n = 0 jusqu'à n sur chaque ligne :

Un = Un-1 + 2(n-1)-1
Un-1 = Un-2 + 2(n-2)-1
.............................................
U2 = U1+2-1
U1=U0+0-1
----------------------------------------------- on ajoute toutes ces égalités membre à membre
Un =U0 + 2(0+1+...+(n-1))-1-1-....-1 (les autres Un se simplifient)
Un = 5 + 2(n-1)n/2 - n = 5 + n²-n-n = n²-2n+5

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 11:12

Désolé j'écrivais un message ça a planté
Oui donc Vo = -1
Arithmétique de raison2,
Vn = 2n-1
Vo +... + Vn-1 + Uo = Un
(n(Vo+Vn-1)/2 )+Uo = Un
(-n + n(2(n-1)-1))/2 + Uo = Un
(-n+ n(2n -3))/2 + Uo = Un
(-n + 2n² -3n)/2 + Uo = Un
n² -2n + Uo = Un
Un = n² - 2n + 5

Ducoup j'ai bon ? Désolé pour l'écriture peu lisible/compréhensible. J'ai juste pas compris la partie Vn = Un+1 - Un
Donc Un - Uo = Vo ... + Vn-1
Pourriez-vous m'expliquer un peu merci 😅

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 11:14

Glapion votre technique c'est un peu la même que celle de lake ?

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 11:23

je vois pas comment passer à la
S(Un+1 - Un) = Un - Uo
Parce que ducoup on tombe bien sur cette somme est égale à Vo + ... Vn ? Mais pour
Un-Uo je bug, merci pour votre aide

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 11:37

Un+1 = Un + 2n - 1
S(.... - Un) = U1 - Uo + U2 - U1...Un+1 - Un
= -Uo , tout se supprime, reste Un+1
= Un+1 - Uo
Et = 2n-1 = Un+1 - Uo
Sauf que 2n-1 = Vn donc
Vo + ... Vn-1 = Un - Uo
C'est ça ?

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 11:58

Voyons:

Si v_n=u_{n+1}-u_n:

  v_0+v_1+\cdots+v_{n-2}+v_{n-1}=(u_1-u_0)+(u_2-u_1)+\cdots+(u_{n-1}-u_{n-2})+(u_n-u_{n-1})=u_n-u_0

ou encore avec v_n=2n-1:

  u_n-u_0=-1+1+3+\cdots+2n-3 une somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique (de raison 2).

Non ?

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:00

Et oui, Glapion et moi avons quasiment fait la même chose.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:01

Citation :
Glapion votre technique c'est un peu la même que celle de lake ?

oui ça revient au même.

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:06

Mais ducoup j'ai fais la même chose au rang Vn= Un+1 - Un
Et je suis tombe sur la
somme de Vn = Un+1-Uo
J'ai dis ducoup que Vn-1 = Un - Uo mais je suis pas sur que l'on peut, merci

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:10

Tu as sommé de 0 jusqu'à n et tu as obtenu u_{n+1}-u_0
 \\

Moi j'ai sommé de 0 à n-1 (pour obtenir u_n-u_0)

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:24

Je vois bien ducoup comment tu as fait lake mais ça marche de faire Vo +... Vn = U1-Uo ... + Un+1 - Un et on tombe sur
Somme de Vn= Un+1 - Uo
Et j'abaisse d'un rang, Vn-1 = Un - Uo ?
La somme de Vn aurait été ,
(n+1)(2n - 2)
———————- + Uo = Un
            2
-n + 2n² - n - 1 + 2n - 1
———————————- + Uo = n² + 4
               2
S(Vn-1) = (n-1)² + 4 = n² - 2n + 5
Ça marche non ?

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:25

Donc c'est bon ? Ça revient au même.

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:32

Je reprends tout de deux manières différentes, la première en sommant de 0 à n-1 et la seconde de 0 à n.

Dans les deux cas, on a: v_k=u_{k+1}-u_k=2k-1

1) \sum_{k=0}^{n-1}v_k=u_n-u_0=\sum_{k=0}^{n-1}(2k-1)=n\times \dfrac{-1+2n-3}{2}=n(n-2) (somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique).

  d'où avec u_0=5,  u_n=n^2-2n+5

2) \sum_{k=0}^{n}v_k=u_{n+1}-u_0=\sum_{k=0}^{n}(2k-1)=(n+1)\times \dfrac{-1+2n-1}{2}=(n+1)(n-1) (somme de n+1 termes consécutifs d'une suite arithmétique).

  d'où avec u_0=5,  u_{n+1}=n^2+4

   et u_n=(n-1)^2+4=n^2-2n+5

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:33

Ah! j'ai loupé ton post de 12h24

Posté par
FerreSucre
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:35

Oui c'est bon ducoup, j'avais juste un léger doute merci en tout cas pour ton aide maintenant je pourrais faire se genre de suite! Bonne journée

Posté par
lake
re : Passer d’une forme récurente à explicite Suites 17-12-19 à 12:36

Bonne journée à toi FerreSucre



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