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pb avec equa diff
bonjour, j'éprouve quelques difficultés sur les équa dif avec deux exos et je vois pas trop comment m'y prendre.
Un réservoir de contenance 100L est rempli d'eau dans laquelle 10 kg de sel st dissous. Ce réservoir est alimenté par un robinet d'eau douce de débit 20L/min ; en même tps de l'eau salée s'échappe par une subverse au même rythme de sorte que la contenance reste égale à 100L . On note y(t) la concentration en kg/L en sel au bout de t minutes.
1) Expliquer pourquoi la masse de sel présente est :
à l''instant t : 100y(t)
à l'instant t+h : 100y(t)-20hy(t) si h est sufisamment petit et si h>0
2) En déduire que y est dérivable sur [0 ; +infini[ et vérifier l'équation différentielle
y' = -0.2y
3) Exprimer alors y(t) en fonction de t
merci d'avance de votre aide
Salut Justine 
,
Je vais tenter de t'aider de mon mieux. La première question est plus une question de physique basique qu'autre chose :
1)Expliquer pourquoi la masse de sel présente est :
à l'instant t : 100y(t).
Tout simplement, on te dit que y(t) est la concentration massique de sel exprimée en kg.L-1 (à lire : kilogramme par litre). Or combien y-a'il de litres dans le réservoir ? Il y en a 100. Ainsi faut-il bien multiplier la concentration massique en sel (par litre), y(t), par 100 pour obtenir la masse de sel présente à l'instant t dans le réservoir.
à l'instant t+h : 100y(t)-20hy(t) si h est suffisamment petit avec h>0.
On vient de voir qu'à l'instant t, la masse de sel présente est 100y(t) (ce qui explique le premier terme de la relation).
On nous dit en plus dans l'énoncé que chaque minute, 20 L d'eau salée (donc de concentration en sel y(t)) sont évacués tandis que 20 L d'eau douce (qui ne contient donc pas la moindre concentration en sel) sont déversés dans ce même réservoir.
Or 20 L d'eau salée à y(t) kilogrammes de sel par litre correspond évidemment à une masse de 20y(t) kilogrammes de sel, tandis que 20 L d'eau douce, ne contenant donc pas de sel, n'apporte pas la moindre masse de sel.
La raison pour laquelle h doit être très petit vient du fait que la concentration y(t) n'est pas égale à la concentration y(t+h) puisque l'eau douce apportée dilue la solution.
C'est une approximation affine. (on s'en sert à la question d'après).
2) En déduire que : y'=-0,2y
On vient de montrer que :
(il faut tout diviser par 100, car on travail à nouveau avec les concentrations et non plus avec les masses comme à la question précédente)
Or, en utilisant l'approximation affine, on sait que l'on doit avoir :
En procédant par identification, on a bien :
3) Exprimer alors y en fonction de t.
Il suffit de résoudre l'équadiff. Tu doit savoir que les solutions des équadiff de la forme : sont les fonctions f définies sur R par :
.
Ainsi, les fonction vérifiant notre équadiff sont de la forme :
Seulement, cela ne suffit pas, car il y a des condition initialles à respecter. En effet, on sait que initiallement : "un réservoir de contenance 100L est rempli d'eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous". Ceci veut dire que la concentration initialle est égale à 0,1 kg.L-1.
On a donc :
d'où
ainsi
Finalement, on a donc :
Voili, voiloù .
Si tu as des questions, n'hésite pas .
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