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Pb de récurrence

Posté par abysse (invité) 17-10-04 à 14:35

Voilà j'aimerai avoir de l'aide sur cela:

Pour n , on pose: Sn=1 +q+q2+...+qn= \Bigsum_{k=0}^nqk
Montrer par récurrence sur l'entier n, que si q1, on a Sn \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
Retrouver aussi cete formule en calculant Sn-q Sn

Etudier, selon les valeur de q, la limite de Sn lorsque n tend vers +

Merci de votre aide

Posté par abysse (invité)re : Pb de récurrence 17-10-04 à 15:22

si qq1 pouvait me donner au moins le principe merci

Posté par
Belge-FDLEre : Pb de récurrence 17-10-04 à 15:47

Salut abysse ,

Je vais essayer de t'aider de mon mieux :


RÉCURRENCE
Démontrons par récurrence, que pour tout 2$\rm~n~\in~~\mathbb{N} et pour 2$q\neq1, on a :

2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^n(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

On appellera cette propriété 2$P_n.

Initiallisation : Au rang n=0, on a bien :
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^0(q^k)~=~q^0~=~1
et
2$\rm~\frac{1-q^{0+1}}{1-q}~=~\frac{1-q}{1-q}~=~1
Ainsi, 2$P_0 est vérifiée, et notre propriété est donc initiallisée.

Hérédité : Supposons 2$P_n vraie pour n fixé, càd que :
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^n(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
Démontrrons que dans ce cas, 2$P_{n+1} est également vraie, càd que :
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1-q^{n+2}}{1-q}
Partons de notre hypothèse de récurrence, on a:

2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^n(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}~+~q^{n+1}
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}(1-q)}{1-q}
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1+q^{n+1}(-1+1-q)}{1-q}
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1+q^{n+1}(-q)}{1-q}
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}(q^k)~=~\frac{1-q^{n+2}}{1-q}

Ce qui traduit que 2$P_{n+1} est vérifiée.

CONCLUSION : 2$P_n est vérifiée au rang n=0, et est héréditaire. Pour tout 2$\rm~n~\in~~\mathbb{N}, on a donc bien :
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^n(q^k)~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}



PAR LE CALCUL :
Retrouvons cette formule en calculant aussi 2$\rm~S_n~-~qS_n. On a :

2$\rm~S_n~=~1+q+q^2+q^3+q^4+.....+q^{n-2}+q^{n-1}+q^n
et donc :
2$\rm~qS_n~=~q+q^2+q^3+q^4+q^5+.....+q^{n-1}+q^n+q^{n+1}

On remarque que tous les termes s'annulent, sauf le premier de Sn (1), et le dernier de qSn (2$\rm~q^{n+1}). On obtient donc :

2$\rm~S_n~-~qS_n~=~1-q^{n+1}
2$\rm~S_n(1-q)~=~1-q^{n+1}
2$\rm~S_n~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

3$C.Q.F.D



LA LIMITE SELON "q" :
Alors, on a vu que :

2$\rm~S_n~=~\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
d'où 2$\rm~S_n~=~\frac{1}{1-q}~-~\frac{q^{n+1}}{1-q}

Il faut remarquer que quel que soit la valeur de "q", le premier terme, 2$\rm~\frac{1}{1-q} tendra vers un réel.
On remarque également que 2$\rm~q^{n+1} est une suite géométrique de raison q. On va donc pouvoir s'intéresser à sa limite selon les valeurs de q :

*Pour 2$\rm~q~\leq~~-1 : la suite géométrique 2$\rm~q^{n+1} divergera en tendant, pour n très grand, tour à tour en 2$\rm~+\infty ou en 2$\rm~-\infty selon la parité de n.
Ainsi, Sn divergera si 2$\rm~q~\leq~~-1.

**Pour 2$\rm~-1~<~q~<~1 : la suite géométrique 2$\rm~q^{n+1} convergera vers 0. On aura donc :
2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(q^{n+1})~=~0
d'où 2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-\frac{q^{n+1}}{1-q})~=~0
donc 2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q})~=~\frac{1}{1-q}
Ainsi, Sn convergera vers le réel 2$\rm~\frac{1}{1-q} si 2$\rm~-1~<~q~<~1.

***Si 2$\rm~q~>~1 : Comme le premier terme est 1 (et est donc positif), la suite géométrique 2$\rm~q^{n+1} divergera vers 2$\rm~+\infty pour n assez grand.
On a donc :
2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(q^{n+1})~=~+\infty
d'où 2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-\frac{q^{n+1}}{1-q})~=~+\infty     (car (1-q) est un réel)
donc 2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q})~=~\frac{1}{1-q}     (même raison que précédemment)
Ainsi, Sn divergera vers 2$\rm~+\infty si 2$\rm~q~>~1.

**** Il nous reste un dernier cas à ne pas oublier : si 2$\rm~q=1. En effet, même si la formule trouvée pour Sn n'est pas valable pour 1, il ne faut pas oublier ce cas, on va juste se débrouiller autrement.
Si la suite a pour raison 1, la suite sera constante, et on en déduit facilement que :
2$\rm~\displaystyle\sum_{k=0}^n(1^k)~=~1+1+1+1+1+...+1~=~1\times~(n+1)~=~n+1
Donc, losque n tendra vers 2$\rm~+\infty, si 2$\rm~q=1, Sn divergera vers 2$\rm~+\infty.


Voili, voilou .
J'espère avoir pu t'aider. Si tu as la moindre question, n'hésite pas .

À +   

Posté par abysse (invité)re : Pb de récurrence 17-10-04 à 15:57

merciiiiiiiiiiiiiii bcp bcp
euh question: j'suis censée savoir faire ça toute seule???

Posté par
Belge-FDLEre : Pb de récurrence 17-10-04 à 16:10

De rien ,

Cela peut paraître assez long comme ça (et ça l'est ), mais les raisonnements ne sont pas si difficiles que ça selon moi.
Je suis aussi en Terminale (S). Je trouve que le raisonnement par récurrence n'est pas si compliqué que cela.
Pour les raisonnement par récurrence, si tu veux être à l'aise, je ne peux que te conseiller d'essayer d'en faire un maximum. Après tu trouveras cela plus simple.

Sinon, pour la deuxième partie de l'exo (Sn-qSn), c'est la "réminiscence" de ce que l'on avait fait en première qui m'a aidé . En effet, quand on avait fait les suites l'année dernière, c'est en utilisant Sn-qSn que l'on avait démontré cette formule.
Si tu ne t'en souvenais plus, en effet, ça pouvait paraitre beaucoup plus compliqué .

Pour le troisième, il fallait juste avoir le déclic de décomposer Sn, en faisant apparaitre des réels et une suite géométrique.
Ensuite, il suffisait d'appliquer le théoèreme des limites des suites géométriques selon la valeur de leur raison (aussi vu en 1ère pour ma part ), et les règles de calculs des limites.

À +


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