Bonjour


Soit f une fonction dérivable sur R et vérifiant la propriété P : pr tt x et y appartiennent à R, f(x+y) = f(x) * f(y)

on suppose que f n'est pas la fonction nulle

1) Calculer f(0)
2) pr x réel quelconque, on considère gx définie sur R qui a tt réel t associe le réel gx(t) = f(x+t)-f(t).f(x)
a) montrez ke pr tt réel t, g'x(t)=0
b) en déduire kil existe un réel k tel que f'(x)=k.f(x)
c) déterminez alors ttes les fonctions f non nulles dérivables sur R vérifiant la propriété P
3) Réciproquement, les fonctions f déterminées en 2c) vérifient-elles la propriété P
4) Enoncez le théorème que vs venez de démontrer

Merci pour votre aide