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pb nombres premiers congruence
J'ai des difficultés en arithmétique et un devoir à rendre : dur dur. Si vous pouviez m'aider, merci d'avance.
Soit p un nombre premier >2. Démontrer que p est congru à 1 ou à -1 modulo 4.
Le but de ce qui suit : Les nombres premiers p congrus à -1 [4] sont ils en nombre fini?
Supposons que cela soit le cas : soit n le nombre premiers de nombre premiers congrus à -1 [4], notons A=p1 p2 p3...pn le produit de ces nombres et B=4A-1
Montrer que B est congru à -1 [4]
Soit q un diviseur premier de B. Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2, ...,pn précédents.
Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congru à -1 [4]
Quelle réponse apporter à la question posée?
Pourriez-vous me donner quelques pistes ou quelques méthodes afin de le résoudre car, bloqué dès la première question, c'est dur...
salut
c'est un raisonnement par l'absurde.
donc la question initiale a pour reponse non.
pour le demontrer l'exo propose un raisonnement par l'absurde : c'est pour ca qu' il commence par :"Supposons que cela soit le cas".
on doit maintenant arriver a une contradiction.
A=p1*...*pn et chaque pi est congru a -1 modulo 4.
donc A = (-1)^n [4]
donc B=4A-1 = 4*(-1)^n -1 [4] = -1 [4]
soit q un diviseur premier de B. donc q | 4A-1
si q etait l'un des pi alors q|A et donc q|4A
donc q | 4A-1 et q |4A donc q|1 => q=1. non donc q distinct des pi.
soient b1,....bm les diviseurs de B.
si aucun n'est congru a -1[4] alors ils sont congru a 0 1 ou 2 [4]
si l'un des d'eux est congru a 0 [4] alors c'est le cas de B .or B=-1[4] donc c'est exclus.
donc les seuls possibilites sont 1 ou 2.
donc B=b1*...*bm= b [4] avec b une puissance de 2. on note b=2^p, p entier naturel.
or B=-1 [4] donc -1=2^p+k*4 k dans Z.
p=0 ? non car sinon -2=k*4 k dans Z.
p=1 ? non plus car alors -3=k*4 k dans Z.
p>=2 ? non car alors 4 divise -1 ce qui n'est pas.
conclusion il existe un bi different des pi tel que bi=-1[4]
or on a suppose que les nombres premiers congru a -1 [4] etaient les pi et seulement les pi.
or on a trouve un de plus : bi donc contradiction.
notre hypothese de depart est fausse.
le nombre de premiers congru a -1 [4] est donc infini.
a+
Moi je cherche surtout a répondre a la question
Soit p un nombre premier >2. Démontrer que p est congru à 1 ou à -1 modulo 4.
AH voila j'ai trouvé,enfin je pense. p est congru a 0,1,2,3,4. Or il est ni congru a 0,2,4 sinon ca veut dire qu'il est divisible par 4 ou par 2. A confirmer
pour laurierie :
p est un nombre premier >2. (2 exclus) donc p est IMPAIR.
donc les p=2[4] et p=0[4] sont exclus. il reste -1 et 1 possibles.
or 3=-1[4] et 5=1[4]. donc p peut etre congru a -1 ou 1 [4].
a =1[4] <=> il existe k dans Z tel que a=1+k*4
or 1=4-3 donc a=4-3+k*4=-3+4(k+1) avec k+1 dans Z.
donc a=-3[4]
meme chose pour a=-1[4] et a=3[4]
a+
merci beaucoup je vais pouvoir m'y mettre à fond afin d'essayer de tout comprendre...
salut minotaure, je sais que ca date mais en fait j'ai le même dm et j'ai pratiquement réussis à tout faire sauf où il faut montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congurs à -1 modulo 4 et je comprend pas la méthode que ta utilisé donc si tu pourrias me réexpliquer ce serait bien
je te remercie par avance. a+
pour sih
si ts les diviseurs premiers de B st congrus a 1 modulo 4 alors B LE SERAI AUSSI ce qui n é ps le cas alors il existe au moins un qui n é ps congrus a 1 modulo 4
comme il est premier il est congrus a -1 modulo 4
t'a compris?
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