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pb sur fonction exp
Bonjour,
j'ai un pb de maths pour un devoir :
Le taux d'alcoolémie ( en g/L de sang) à l'instant t (en heures) donne
la fonction f(t)=ate^ -bt [e est la fonction exponentielle](où a
et b sont des constantes dpdant de la personne,de la qtité d'alcool
absorbé à jeun ou non))
1)Etudier les variations de f sur [0 ;+l'infini[
2)Si un homme de 80 kg a bu 3 verres de whisky, le taux d'alcoolémie maxi
est de
-0,75g au bout de1h 30min s'il a bu pdt un repas
- 1g s'il est à jeun au bout de 30 min
a)Montrer que f(t)=0,5t*e^(1-2/3t) qd l'alcool a été absorbé au cours d'un
repas
b)Déterminer f(t) ds le cas où l'alcool a été absorbé à jeun
3)On suppose f(t)=0,5t*e^(1-2/3t)
a)Dresser le tableau de variations de f
b)D'après la représentation graphique, déterminer l'intervalle de temps durant
lequel la personne ne devrait pas prendre le volant (taux maxi autorisé
est de 0,5g /L)
c)La personne prend le volant à la fin du repas et subit un contrôle qui
est positif
( donc le taux est sup à 0,5g/L) à l'éthylomètre. De plus il fait une
prise de sang une heure + tard et le taux d'alcoolémie est le même
que celui de l'éthylomètre.
A quel instant cette personne a subi le contrôle à l'éthylomètre et
quel était son taux d'alcoolémie ?
4)ds un but de simplification, on considère qu'en moyenne, ds la phase
de décroissance, le taux d'alcoolémie diminue de 0,15g/L par heure
Que peut-on en penser ?
Merci d'avance
1)
f(t) = at.e^(-bt)
f '(t) = a.e^(-bt) - abt.e^(-bt)
f '(t) = a.e^(-bt) .(1 - bt)
On suppose a > 0 et b > 0 (ce qui est assez logique dans le problème
posé)
f '(t) > 0 pour t dans [0 ; (1/b)[ -> f(t) croissante.
f '(t) = 0 pour t : 1/b
f '(() < 0 pour t dans ]1/b ; oo[ -> f(t) décroissante.
f(t) a donc un maximum en t = 1/b, ce max vaut f(1/b) = (a/b).e^-1
-----
2)
f(t) = at.e^(-bt)
a) si bu pendant le repas: le max = (a/b).e^-1 = 0,75 pour t = 1,5 ->
b = 1/1,5 = 2/3
0,75 = a/(2/3).e)
a = (2/3)*0,75*e = e/2
f(t) = (e/2)t.e^(-(2/3)t)
f(t) = (1/2)t.e^(-(2/3)t+1)
f(t) = 0,5t.e^(1 - (2/3)t) si bu pendant le repas.
--
b) si bu à jeun.
1g/L et t = 0,5 et b = 1/0,5 = 2
f(t) = at.e^(-2t)
1 = 0,5a.e^(-1)
2 = a.e^(-1)
a = 2e
f(t) = 2e.t.e^(-2t)
f(t) = 2.t.e^(1-2t) si bu à jeun
--
3)
a)
En repartant de ce qui a été fait en 1.
f(t)= 0,5t.e^(1 - (2/3)t)
a = e/2 et b = 2/3
f '(t) > 0 pour t dans [0 ; 1,5[ -> f(t) croissante.
f '(t) = 0 pour t : 1,5
f '(t) < 0 pour t dans ]1,5 ; oo[ -> f(t) décroissante.
f(t) a donc un maximum en t = 1,5 , ce max vaut f(1,5) = (3e/4).e^-1 =
3/4 = 0,75
--
b)
0,52 < t < 3,3
--
c)
f(t) = f(t+1)
0,5t.e^(1 - (2/3)t) = 0,5(t+1).e^(1 - (2/3)(t+1))
Soit on résout cette équation (pas facile)
Soit on le fait graphiquement.
On trace les courbes f(t) = 0,5t.e^(1 - (2/3)t) et f(t+1) = 0,5(t+1).e^(1
- (2/3)(t+1))
Ces courbes coïncident en t = 1,055 environ.
Le test à l'éthylomètre a eu lieu 1,055 heure après l'absorbion
d'alcool.
La taux était: f(1,055) = 0,71 g/L environ.
----
4)
Le max a lieu eprès 1,5h et est de 0,75 g
0,15g/L/ heure de diminution donnent (0,75-0,5)/0,15 = 1,67 h après le max
pour redescendre à 0,5g/L
-> total de 1,5 + 1,67 = 3,17 heures après la prise d'alcool pour
être en dessous de 0,5 g/L.
On avait trouvé 3,3 heures graphiquement.
L'approximation est donc assez bonne mais permet de repartir un peu trop vite.
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A ta santé et toujours sauf distraction.
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