J'ai du mal à suivre ce qui est demandé pour trouver ce qui
est si facile par une autre voix.
J'ai résolu l'exercice d'abord par ma méthode et à la fin j'ai
recommencé par la méthode demandée.


f(x) = (1/2)*(x+2/x).  
f '(x) = (1/2) .(1  -(2/x²))
f '(x) = (1/2).(x²-2)/x²

f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; V2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = V2
f '(x) > 0 pour x dans ]V2 ; oo[ -> f(x) croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = V2, ce min vaut f(V2) = (1/2).(V2
+ 2/V2) = (1/2) (2V2) = V2.
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Donc U(n+1) = f(Un) > V2

g(x) = f(x)/x = (1/2).(1 + 2/x²)
g '(x) =  -2/x³
g '(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g(x) décroissante.
lim

f(x) - x = (1/2).(x + 2/x) - x
f(x) - x = (1/2).(x + 2/x) - (1/2).2x
f(x) - x = (1/2).[(x + 2/x) - 2x]
f(x) - x = (1/2).[(2/x) - x]
f(x) - x = (1/2).(2-x²)/x

Si x > V2 , f(x) - x < 0 et f(x) < x
Si U(n) > V2 , U(n+1) < U(n) et Un est décroissante.

U(0) = 1
U(1) = 3/2
U(1) > V2
Et pour n >= 1, la suite est décroissante.

-> V2 < U(n+1) < U(n) <= 3/2  

La suite est décroissante et bornée, elle est donc convergente.

Comme elle converge , on a pour n->oo, U(n) = U(n+1)
Pour n ->oo : en notant X la lim(n->oo) U(n)

X = (1/2).(X + 2/X)
X = (1/2).(X² + 2)/X
2X² = X² + 2
X² = 2
X = V2

Et donc Un tend vers V2
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Début par la manière demandée.

c)
Supposons V2 <= Un <= 3/2   (et pas supérieure comme tu l'as écrit)

U(n+1) = (1/2).(U(n) + 2/U(n))
U(n+1) = (1/2).[(U(n))² + 2]/U(n)
On a U(n+1) >= 0

Et par l'étude de f(x), (voir autre méthode), on sait que f(x)
est croissante pour x dans ]V2 ; oo[ et donc aussi pour x dans ]V2
; 3/2].
-> U(n+1) a donc sa valeur minimum pour U(n) minimum
U(n+1) >= f(V2)
U(n+1) >= (1/2).(V2 +  2/V2)
U(n+1) >= (1/2).(2V2)
U(n+1) >= V2

Et U(n+1) a donc sa valeur maximum pour U(n) minimum soit U(n) = 3/2
U(n+1) <= (1/2).((3/2) + 2/(3/2))
U(n+1) <= (1/2).((3/2)+(4/3))
U(n+1) <= 17/12
et donc a fortiori
U(n+1) <= 18/12
U(n+1) <= 3/2

Donc si  V2 <= Un <= 3/2, on a aussi V2 <= U(n+1) <= 3/2    (1)

U(0) = 1
U(1) = (1/2).(1 + 2/1) = 3/2

Et donc V2 <= U(1) >= 3/2
Comme V2 <= U(1) <= 3/2 , on a par (1) que  V2 <= U(2) <= 3/2
Comme V2 <= U(2) <= 3/2 , on a par (1) que  V2 <= U(3) <= 3/2
Comme V2 <= U(3) <= 3/2 , on a par (1) que  V2 <= U(4) <= 3/2
Et ainsi de proche en proche, on a: V2 <= U(n) <= 3/2 pour tout n de
N  >= 1.

U(n+1) - U(n) = (1/2).(U(n) + 2/U(n)) - U(n)
U(n+1) - U(n) = (1/2).(2-(U(n))²)/U(n)

Comme U(n) > V2 , U(n+1) - U(n) < 0 et U(n+1) < U(n)
->  U(n) est décroissante.

Comme Un est décroissante et bornée, elle converge.
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4)
a)
On a:
U(n+1) = (1/2).(U(n) + 2/U(n))
U(n) =  (1/2).(U(n-1) + 2/U(n-1))
Un - V2 = (1/2).(U(n-1) + 2/U(n-1)) - V2
Un - V2 = (1/2).[(U(n-1))² + 2]/U(n-1) - V2 . (U(n-1) / U(n-1))
Un - V2 = (1/2).[(U(n-1))² + 2 - 2V2(U(n-1))]/U(n-1)
Un - V2 = (1/2).[(U(n-1) -V2]²/U(n-1)

Et comme si n >=2, U(n-1) >1 (puisque V2 <= U(n) <= 3/2 pour tout n
de N  >= 1)

U(n) - V2 <= (1/2).(U(n-1) - V2)²    pour n >= 2
Si n = 1:
U(0) = 1 et U1 = 3/2
U1 - V2 = 3/2 - V2
(1/2).(U(0) - V2)² = (1/2).(1-V2)² = (1/2).(1-2V2+2) = 3/2 - V2
On a donc U(n) - V2 = (1/2).(U(n-1) - V2)²    pour n = 1
On peut donc écrire:
U(n) - V2 <= (1/2).(U(n-1) - V2)²    pour n >= 1
Comme les 2 membres sont positifs, on a aussi:
|U(n) - V2| <= (1/2).(U(n-1) - V2)²    pour n >= 1    (2)
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b)
|U0-V2|= |1-V2| = 0,41...< 1/2
|U0-V2| < 1/2


|U(1) - V2| <=? (1/2)^(2^(1+1)-1)
|(3/2) - V2| <=? (1/2)^(2²-1)
|(3/2) - V2| <= (1/8) -> OK

Supposons que |U(n)-V2|<= (1/2)^(2^(n+1) - 1) pour une certaine valeur k de
n, on a alors:
|U(k)-V2|<= (1/2)^(2^(k+1) - 1)

(2) ->
|U(n) - V2| <= (1/2).(U(n-1) - V2)²    pour n >= 1
et pour n = k+1 ->
|U(k+1) - V2| <= (1/2).(U(k) - V2)²

|U(k+1) - V2| <= (1/2).((1/2)^(2^(k+1) - 1))²
|U(k+1) - V2| <= (1/2).((1/2)^(2^(k+2) - 2))
|U(k+1) - V2| <= (1/2)^(2^(k+2) - 1)


Qui est l'expression |U(n)-V2|<= (1/2)^(2^(n+1) - 1) dans laquelle
n = k+1.

Donc si |U(n)-V2|<= (1/2)^(2^(n+1) - 1) est vrai pour n =k ,elle est encore
vraie pour n = k+1.

Comme elle est vrai pour n = 0, elle est vraie pour n = 1.
Comme elle est vrai pour n = 1, elle est vraie pour n = 2.
Comme elle est vrai pour n = 2, elle est vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, |U(n)-V2|<= (1/2)^(2^(n+1) - 1) pour tout
n de N
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c)
h(x) = 2^x - 1 - x
h '(x) = ln(2) .2^x - 1
h'(x) > 0 si x >= 1 -> h(x) est croissante.
h(1) =  2 - 1 - 1 = 0
-> h(x) >= 0 pour x dans [1 ; oo[
avec x = n + 1 ->
2^(n+1) - 1 - (n+1) >=0 pour n dans [0 ; oo[
2^(n+1) - 1 >= (n+1) pour n dans [0 ; oo[

(1/2)^(2^(n+1) - 1) <= (1/2)^(n+1)

|U(n)-V2|<= (1/2)^(n+1)

lim(n->oo) ||U(n)-V2| = lim(n->oo) (1/2)^(n+1) = 0
-> lim(n->oo) Un = V2
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5)
(0.5)^((2^(n+1))-1)< 10^-100
calculette -> n = 8

Et avec |U(n)-V2|<= (1/2)^(2^(n+1) - 1)
on a |U(8)-V2|<= 10^-100
U8 ~ V2 a 10^-100 près.  
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Ouf, relis car il y a sûrement quelques erreurs.