salut

calcule en fonction de u_n ...

1/2(Un+2/Un)- doit être positif c'est ça?

J'ai pas bien compris quoi faire si vous pouviez m'en dire plus. Merci

Bonjour,
Tu as U_n+1=f(U_n)
Etudies le sens de variation de la fonction f

je fais f(x)= 1/2(x+2/x)
f'(x)=1/2(1-2/x²)
f'(x)= 0 pour x=2 et x=-2
J'ai 3 intervalles et sur celui qui m'intéresse, f est strictement croissant.
Je calcule f(2)= 2.
f(Un)=Un+1
donc Un+1>2
Est-ce que c'est bon? Et est ce que c'est bien démontré par récurrence?
En tout cas merci.

J'en profite pour demander la suite :
Démontrer que Un décroissant.
ssi Un+1-Un<0
Je développe : 1/2(Un+2/Un)-Un = 1/Un - Un/2 mais là je bloque je ne vois pas comment démontrer que c'est négatif?

Oui c'est juste en redigeant bien.
Pour la suite mets au meme denominateur...

1/

2/

ce qui permet de conclure ... (comme avec les variations de f)

et l'important ce n'est pas les variations de f sur tel ou tel intervalle c'est que f est minorée par   qui vaut (voir 1/)


sinon plus simplement (et encore) :



...

Carpe diem ,  je ne trouve pas personnellement ta methode plus simple.

mais ce n'est qu'un avis personnel.

soyons sérieux !!!

la dernière ligne de calcul est du pur classique : pour montrer que a > b on étudie le signe de a - b (et on montre que ce signe est + bien sur) et les calculs sont de niveau collège ...


la première méthode nécessite plus d'expérience :

lorsqu'on veut montrer que f(x) > a et que f(a) = a alors on applique ce qui précède non pas en étudiant le signe de f(x) - a mais celui de f(x) - f(a)

c'est évidemment le même nombre mais très souvent la factorisation (nécessaire pour l'étude d'un signe (sauf cas particulier bien sur)) se fait aisément ...

et l'etude du sens de variation de f pour determiner les bornes d'une suite est aussi classique!Je suis serieux!

aussi!

ce que je disais déjà à 19h49 ...

mais l'idée de minorer par l'étude des variations ne peut être fait qu'à partir de la première

ma variante elle se fait dès le collège ...

En college , on n'etudie pas les fonctions...n'exagere pas!

ben voyons ...

certes on ne parle pas de fonction mais de l'expression (x + 2/x)/2

et il n'y a pas besoin de parler de fonction pour penser que c'est quelque chose qui varie en fonction de x ... _{^{enfin quand on pense un peu ... mais bon vu que les jeunes de maintenant ont perdu deux points de QI ....}}

si tu préfères on peut appeler A(x) ce nombre ...

PS : que voyait-on au collège il y a ... années lorsqu'au lycée on voyait les groupes et les espaces vectoriels  (que j'ai vu au lycée)

ce n'est donc pas la difficulté conceptuelles ... mais bien autre chose ...

il est tout de même étonnant de voir qu'à mon époque environ 1% écrivaient (au collège) alors qu'aujourd'hui c'est plutôt 99% ... au lycée ...

On n'est plus à ton epoque!!!On ne sait plus calculer ....

Un inspecteur avait meme dit, voici quelques années que les techniques de calcul algebrique ne devaient etre acquises qu'enterminale!!!!

Bon, là vous m'avez perdu!

Allez, la suite :

Montrer que : U_n+1 - 2 1/2(U_n - 2)

Je ne sais pas pour où attaquer?

Procede par etape en partant de U_net en utilisant le 1)

et en plus je l'ai quasiment fait en posant et

...

Ok, merci j'ai compris.

Dernier truc ensuite je vous laisse tranquille :

On a montré que : U_n+1 - 2   1/2 (U_n - 2)

Déduire par récurrence que : 0 U_n - 2 (1/2)ⁿ (U₀ - 2) ?

L'initialisation c'est bon.
Pour l'hérédité je dois montrer que 0 U_n+1 -2 (1/2)ⁿ⁺¹ (U₀ - 2)
Pour arriver à ça, je pars de quoi SVP, je m'embrouille?
Merci

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