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Pentagone régulier

Posté par
aliceazerty
01-01-20 à 12:34

Bonjour tout le monde,
J'ai un DM à rendre lundi et je n'y arrive pas du tout alors merci d'avance à toute personne qui m'aide.
Voilà le premier exercice:
On se place dans un repère orthonormé (O;I;J) et on appelle C le cercle trigonométrique de centre O.
On considère les points A(-1;0), B(-1/4;0) et C(0;1/2).
Le cercle C1 de centre B et de rayon BC coupe l'axe (OI) en P et Q.
La perpendiculaire à la droite (OI) en P coupe le cercle C en M1 et en M4.
La perpendiculaire à la droite (OI) en Q coupe le cercle C en M2 et en M3.
On admet que le pentagone IM1M2M3M4 est régulier.

1-Déterminer des nombres réels associés aux points M1 et M2.
2- En utilisant la longueur BC, déterminer les coordonnées exactes des points P et Q.
3- Déterminer les coordonnées exactes des points M1 et M2.
4- En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus des réels pi/5 er 2pi/5/

1- J'ai trouvé M1= 2pi/5 mais je ne trouve pas la valeur de M2.
2-J'ai trouvé BC= racine de 5 sur 4. Je pensais ensuite aditionner cette valeur au sinus de B, soit -1/4, mais les résultats obtenus sont étranges.
3 et 4- Je n'y arrive pas.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 13:47

Bonjour,
L'énoncé est imprécis.
Les points P et Q sont interchangeables. Idem pour M1 avec M4, et M2 avec M3.
Tu as certainement fait une figure. Tu peux la poster.

"sinus de B" ne veut rien dire.
Les abscisses de P et Q sont \; xBr \; où r est le rayon du cercle C1.

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 19:02

Bonsoir,
merci de votre réponse.
Il y a en effet une figure

Pentagone régulier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 19:21

Les arcs IM1 et M1M2 ont la même mesure puisque les segments ont la même longueur.
Essaye d'en déduire la fin de 1).

Avec mon indication, tu peux traiter 2).

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 19:22

1. Si l'angle IOM1 est égal à 2/5, combien vaut l'angle IOM2 ?
2. Que trouves-tu pour les abscisses des points P et Q ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 19:24

Bonsoir Priam \;
Je te laisse poursuivre. Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 19:54

2. Pour répondre, tu devrais d'abord calculer la longueur du rayon du cercle 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone régulier 01-01-20 à 20:46

Je suis revenue très rapidement.
aliceazerty a fait ce calcul je crois. Voir le bas du 1er message.

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 03-01-20 à 19:53

Merci beaucoup pour vos réponses.
1) M2 = 2 fois M1 donc M2=4pi/5
2)Le rayon de C1 est racine de 5 sur 4  donc P= rayon C1 -1/4 et Q= rayon C1 + 1/4
3) Du coup on connait xM1 et xM2 grâca à P et Q. Pour Y, je pensais utiliser la loi qui dit que sinX + cosX = 1. C'est bien ça ?
4) Je ne sais toujours pas comment trouver...

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 03-01-20 à 19:59

Et comment justifier que M1 = 2pi/5?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Pentagone régulier 03-01-20 à 20:37

Citation :
sinX + cosX = 1
Non, ouvre ton cours.

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 04-01-20 à 11:38

Oui parson c'est sinX auc carré et cosX au carré = 1

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 04-01-20 à 12:18

Pour la question 1), je ne sais toujours pas comment justifier que M1 est associé à 2pi/5. Est-ce grâce au pentagone ?
Pour la question 4), on connait les valeurs de 2pi/5 grâce à M1 et je pensais trouver les valeurs de pi/5 en divisant celles de M1 par 2.

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 04-01-20 à 13:13

1) Oui, M1 est associé à 2pi/5 parce que le polygone M1M2M3M4M5 est un pentagone et que ce pentagone est régulier.
3) As-tu déterminé les coordonnées exactes des points M1 et M2 ?

Posté par
aliceazerty
re : Pentagone régulier 04-01-20 à 15:49

3) Oui, on connaissait les x grâce à la question 2 et j'ai trouvé les y qui sont égal à 1 moins xM qui est au carré, le tout à la racine
4) Je ne suis pas sûre de la procédure à suivre. On connait la valeur de 2 sur 5 car c'est celle de M1. Faut-il soustraire les valeurs de M1 par sur 5 pour trouver les valeurs de sur 5 ?

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 04-01-20 à 16:01

3) Ne pourrais-tu écrire clairement les coordonnées des points M1 et M2 :

M1 : (... ; ...)

M2 : (... ; ...) ?

4) sin(2pi/5) = PM1/OM1 = . . . .

etc.

Posté par
Th3Ph3nix
re : Pentagone régulier 08-10-22 à 15:38

Bonjour j'ai le meme exercice a faire et je voudrais savoir comment vous trouvez racine de 5 sur 4 pour la question 2 ?

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 08-10-22 à 22:08

Bonsoir,
La longueur du segment BC se déduit des coordonnées des points B et C données dans l'énoncé.

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 07-11-22 à 20:52

Bonsoir
BC=\sqrt{(xC-xB)^{2}+(yC-yB)^{2}}

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 07-11-22 à 20:56

ah pardon tu connais si tu as calculé le rayon du cercle

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 11-11-22 à 11:05

bonjour j'essaie de terminer cet exercice abandonné de tous
avant de donner les coordonnées de M1 et M2

Celles de P(\frac{-1+\sqrt{5}}{4};0)

Q(\frac{-1-\sqrt{5}}{4};0)

sont elles justes?
et ensuite pour determiner  yM1 on utilise Pythagore dans OPM1?

merci

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 11-11-22 à 12:37

Bonjour,
Coordonnées de P et de Q ; exactes.
yM1 par OPM1 : oui.

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 14-11-22 à 12:27

ok merci

sin(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4} ?

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 14-11-22 à 17:41

Bonsoir,
Le  4  est inexact.

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 17-11-22 à 10:24

j'ai trouvé

sin(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 17-11-22 à 12:34

Faute au numérateur.

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 19-11-22 à 10:16

sin(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}
merci

Posté par
Priam
re : Pentagone régulier 19-11-22 à 10:18

Exact.

Posté par
tetras
re : Pentagone régulier 28-11-22 à 17:46



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